L’équation
est aux différences partielles à deux variables ; pour l’intégrer, j’observe que, si l’on y suppose
on a
![{\displaystyle \sideset {_{1,1}}{_{x}}y={\frac {r}{p+q+r}}\sideset {_{1,1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbdaa61cf9fe4f44ab7cad19b2ff930c36a5915)
de cette équation et de l’équation
on conclura facilement, par le Problème VI,
![{\displaystyle (q)\quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{1,n}}{_{x}}y=&n{\frac {r}{p+q+r}}\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {r^{2}}{(p+q+r)^{2}}}\sideset {_{1,n}}{_{x-2}}y\\&+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}{\frac {r^{3}}{(p+q+r)^{3}}}\sideset {_{1,n}}{_{x-3}}y-\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66abf027098e5c260b5a2ec1847a23c8e3d400f)
On aura semblablement
![{\displaystyle (q')\quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{m,1}}{_{x}}y=&m{\frac {r}{p+q+r}}\sideset {_{m,1}}{_{x-1}}y-{\frac {m(m-1)}{1.2}}{\frac {r^{2}}{(p+q+r)^{2}}}\sideset {_{m,1}}{_{x-2}}y\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}{\frac {r^{3}}{(p+q+r)^{3}}}\sideset {_{m,1}}{_{x-3}}y-\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7b94aaca59c4cb98ddbb244ae79140aa0c0a58)
Au moyen de ces équations et de l’équation
on déterminera, par le Problème IX, l’expression générale de
ainsi le Problème proposé n’a d’autre difficulté que la longueur du calcul.
La méthode générale du Problème IX conduit à une équation finale très élevée ; mais, au moyen de considérations particulières, je suis arrivé à la solution du Problème précédent d’une manière beaucoup plus simple, que je vais développer. Je fais pour abréger
et l’équation
donne
![{\displaystyle (o')\qquad \qquad \sideset {_{2,n}}{_{x}}y=p.\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{2,n-1}}{_{x-1}}y+r.\sideset {_{2,n}}{_{x-1}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d75f69a3552ec75bcc05a2912a331098e52986)
et si l’on fait
l’équation
donne
![{\displaystyle \sideset {_{2,1}}{_{x}}y=2r.\sideset {_{2,1}}{_{x-1}}y-r^{2}.\sideset {_{2,1}}{_{x-2}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f12b0234b089a810d74a6e7fceda66a0aac5451)
Soit
![{\displaystyle (s)\qquad \qquad \sideset {_{2,n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{2,n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{2,n}}{_{x-2}}y+\ldots +\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {X} }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd9a2ac0414441fd76c5d363a022d899871bcd6)
donc
![{\displaystyle q.\sideset {_{2,{n-1}}}{_{x-1}}y=a_{n-1}q.\sideset {_{2,{n-1}}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{_{n-1}}aq.\sideset {_{2,{n-1}}}{_{x-3}}y+\ldots +q.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}{\mathrm {X} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f55658d15db4512e805f45c43e819d046d18ab)