Substituant dans cette équation, au lieu de
leurs valeurs tirées de l’équation
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{2,n}}{_{x}}y=&(r+a)\sideset {_{2,n}}{_{x-1}}y+\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-a_{n-1}r\right)\sideset {_{2,n}}{_{x-2}}y+\ldots \\&+p.\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y-a_{n-1}p.\sideset {_{1,n}}{_{x-2}}y-\ldots +q.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}{\mathrm {X} },\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be6c46bf5ec0795d470f85a49b7bd0661b4c499)
d’où, en comparant avec l’équation
on aura :
1o
partant,
or, posant ![{\displaystyle n=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4db03e5186e479ecd9611484b8657140a7ff0)
donc,
2o
partant,
or, posant
donc,
3o
donc,
or, posant
donc,
et ainsi du reste. Partant,
![{\displaystyle p\left(\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y-a_{n-1}.\sideset {_{1,n}}{_{x-2}}y-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46df5b87609d571081880034604f6c287827a3d1)
![{\displaystyle =p\left[\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y-nr.\sideset {_{1,n}}{_{x-2}}y+{\frac {n(n-1)}{1.2}}r^{2}.\sideset {_{1,n}}{_{x-3}}y-\ldots \right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591c282a67e511a54e5972f010a0a343a726e918)
en vertu de l’équation ![{\displaystyle (q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b66ce375ce52b84efb041d4c32f62b3fc6b7917)
4o
Or, on a
donc,
et généralement
On a donc
On aura, par un procédé entièrement semblable,
![{\displaystyle \sideset {_{3,n}}{_{x}}y=(n+2)r.\sideset {_{3,n}}{_{x-1}}y-{\frac {(n+2)(n+1)}{1.2}}r^{2}.\sideset {_{3,n}}{_{x-2}}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451278c419fe4511f9ae53ba0de8ba8aec618356)
et généralement
![{\displaystyle \sideset {_{m,n}}{_{x}}y=(m+n-1)r.\sideset {_{m,n}}{_{x-1}}y-{\frac {(m+n-1)(m+n-2)}{1.2}}r^{2}.\sideset {_{m,n}}{_{x-2}}y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97f40e1485aa4dbf9d68c04421cea3006dd876a)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle \sideset {_{m,n}}{_{x}}y=r^{x-2}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c3eb8a76d15219fac4c25d76ecdc4fd057f930)
![{\displaystyle \left[\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} }{\frac {(x-2)(x-3)\ldots (x-m-n+1)}{1.2.3\ldots (m+n-2)}}+\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {M} }{\frac {(x-2)\ldots (x-m-n+2)}{1.2.3\ldots (m+n-3)}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4252cfff668ca7ee96a2c9edcc880183c2996b9)
![{\displaystyle \sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {L} }{\frac {(x-2)\ldots (x-m-n+3)}{1.2.3\ldots (m+n-4)}}+\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {K} }{\frac {(x-2)\ldots (x-m-n+4)}{1.2.3\ldots (m+n-5)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fadbf0872814d73b131628ce3589632b7e4e2e)
![{\displaystyle \left.+\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {I} }{\frac {(x-2)\ldots (x-m-n+5)}{1.2.3\ldots (m+n-6)}}+\ldots +\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fdadb1d816e3916ab5b076f672bfca964ece30)