n’arrive point du tout ; présentement, le nombre des cas dans lesquels, sur
coups,
arrivera
et
fois, est, comme l’on sait,
![{\displaystyle {\frac {\Delta (m+n-1)}{\Delta (n)\Delta (m-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81b91683941d5c5f0b6da457d63bb0ae79015b1)
mais, comme dans le terme
arrive
fois, et
fois, il faut multiplier
par le nombre des combinaisons dans lesquelles,
arrivant
fois,
arrive
fois ; or le nombre de ces combinaisons est
![{\displaystyle {\frac {\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (\mu +1)\Delta (\lambda )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaa98b4dd3615f31b6295baf9068d2eb37d9529)
donc on aura
![{\displaystyle {\frac {\Delta (m+n-1)\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (n)\Delta (\lambda )\Delta (m-1)\Delta (\mu +1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6838c477e1a81c90bb8d20940047b6a34fda12a)
pour le nombre des combinaisons dans lesquelles
est arrivé
fois, lorsque
n’est encore arrivé que
fois ; on trouvera pareillement
![{\displaystyle {\frac {\Delta (m+n-1)\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (n+1)\Delta (\lambda -1)\Delta (m-2)\Delta (\mu +2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a04e172505c69a27112aed2f8d182026846d31a)
pour le nombre des cas dans lesquels
est arrivé
fois, lorsque
n’est encore arrivé que
fois, et ainsi de suite. Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} _{\mu +\lambda }=\left[1+{\frac {\lambda (m-1)}{(n+1)(\mu +2)}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(m-1)(m-2)}{(n+1)(n+2)(\mu +2)(\mu +3)}}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458314d2cce598214860f17f09b09fde0f1a603b)
![{\displaystyle \times {\frac {\Delta (m+n-1)\Delta (\mu +\lambda +1)}{\Delta (n)\Delta (m-1)\Delta (\mu +1)\Delta (\lambda )}}p^{m+\mu }q^{n+\lambda }r^{i-2-\mu -\lambda }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a8b2a82fcd3f408338dacf1767c909bfd8a8bb)
que l’on désigne par
la somme de tous les termes que l’on peut former, en donnant à
et à
dans
toutes les valeurs possibles en nombres entiers et positifs depuis zéro, de manière cependant que
n’excède jamais
que l’on exprime ensuite par
ce que devient
lorsqu’on y change
en
en
et réciproquement ; cela posé, la probabilité de
pour gagner, sera
![{\displaystyle {\frac {1}{(p+q+r)^{m+n+i-2}}}\left[p^{m+n+i-2}+{\frac {m+n+i-2}{1}}p^{m+n+i-3}(q+r)+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03d21bb18306964f1a3a5ae31bf338c4c9e3445)
![{\displaystyle \left.+{\frac {(m+n+i-2)\ldots (m+i-1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}p^{m}(q+r)^{n+i-2}-\left(\mathrm {Q} _{\mu +\lambda }\right)-\left(\mathrm {R} _{\mu +\lambda }\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e229434c97b04a4e5147e142e9b9d876234313f)
La même méthode a également lieu, quel que soit le nombre des joueurs.
XXXII.
Problème XVI. – Je suppose les numéros
et
renfermés dans une urne, et que deux joueurs
et
jouent à cette condition que