choisissant les numéros
et
et
les deux autres, si l’on tire chaque fois un seul de ces numéros au hasard, celui des deux joueurs gagnera, qui le premier aura atteint le nombre
les numéros
et
comptant pour
et les numéros
et
comptant pour
Cela posé, s’il manque
unités au joueur
et
unités au joueur
on demande les probabilités respectives des deux joueurs
et
pour gagner.
Soit
la probabilité de
pour gagner ; si l’on tire de l’urne le numéro
elle deviendra
si l’on tire le numéro
elle deviendra
si le numéro
sort, elle sera
si c’est le numéro
elle sera
on aura donc
(1)
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Cette équation s’intègre comme dans le Problème VII ; mais, pour cela, il faut avoir deux équations particulières dans deux suppositions particulières pour
Or, si l’on suppose
on a
et si l’on suppose
parce que je suppose qu’alors les deux joueurs excluent les numéros
et
On a donc, par le Problème VII,
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{2}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5232d9dd02e753be8bdb7833e31ab51c6197a1a)
et l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f70b517ed3ec9bb85a8b726e8a2be2e1d193a71)
est la même que celle-ci
![{\displaystyle 0=\left(1-{\frac {1}{2f}}\right)\left(1-{\frac {1}{4f}}-{\frac {1}{4ff}}\right)^{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d2b8b60d7bdb626dd6957be578c33cc987637b)
on aura ainsi
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y={\frac {\mathrm {A} _{n}}{2^{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21e88b781789dd249f3b5c5c52327338a4bf92)
![{\displaystyle {\begin{aligned}+\ p^{x}&\left[\ \ \mathrm {N} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+3)}{1.2.3\ldots (n-2)}}+\mathrm {M} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+4)}{1.2.3\ldots (n-3)}}\right.\\&+\mathrm {L} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+5)}{1.2.3\ldots (n-4)}}+\mathrm {K} _{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+6)}{1.2.3\ldots (n-5)}}\\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {C} _{n}{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]\\+\sideset {^{1}}{^{x}}p&\left[\ \ \sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} }_{n}{\frac {x(x-1)\ldots (x-n+3)}{1.2.3\ldots (n-2)}}+\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035bd39e697d50761dabf84e5e85fdf99433abb7)