D’où, en considérant que
![{\displaystyle 1={\frac {1}{4p}}+{\frac {1}{4pp}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f153052021024d964c49525d14e14dd4e7d8fe1b)
on formera les équations suivantes ;
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{n}+{\frac {1}{2}}\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n-2},\\2\mathrm {N} _{n}=&{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-1}}{p}},\\2\mathrm {M} _{n}+\mathrm {N} _{n}=&{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n-1}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-2}}{p^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-1}}{p}},\\2\mathrm {L} _{n}+\mathrm {M} _{n}=&{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {L} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {L} _{n-1}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n-2}}{p^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {M} _{n-1}}{p}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad8fa326b12ea6d87bcbe62403d5a7ff326f93c)
On aura des équations semblables pour
On déterminera les quantités
et
en considérant que, lorsque
et que, lorsque
d’où l’on tire les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}1={\frac {\mathrm {A} _{n}}{2^{n}}}&+p^{n}\left[\ \mathrm {C} _{n}+n\ \mathrm {D} _{n}+\ldots +{\frac {n(n-1)\ldots 3}{1.2.3\ldots (n-2)}}\mathrm {N} _{n}\right]\\&+\sideset {^{1}}{^{n}}p\left[\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+n\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }+\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da592230e237b8e43fe0f0ca53cccd42e7df75a)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}={\frac {\mathrm {A} _{n}}{2^{2n}}}&+p^{2n}\left[\ \mathrm {C} _{n}+2n\ \mathrm {D} _{n}+\ldots +\ \mathrm {N} _{n}{\frac {2n\ldots (n+3)}{1.2\ldots (n-2)}}\right]\\&+\sideset {^{1}}{^{2n}}p\left[\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+2n\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }+\ldots +\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} }{\frac {2n\ldots (n+3)}{1.2\ldots (n-2)}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87b748533405ad319b688f9b2f300c7cf9da409)
Il faut présentement intégrer les équations précédentes. Or, si l’on fait
et
ce qui donne à peu près
on trouvera (article IX)
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}=2^{\frac {n}{2}}(\alpha \cos nq+{\text{ϐ}}\sin nq),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f87ae65a812c70cbdd2174c84ab173acffb34)
et ϐ étant deux constantes arbitraires. Or, si l’on fait
on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}=0=\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606a2ce4c37aff070def60fd2f1fd4dd0ca9dc91)