et si l’on fait
on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7ea79190a89aad4b33012924a1c5be5c15fe5)
parce que
donc
![{\displaystyle {\text{ϐ}}{\sqrt {2}}\sin q={\frac {1}{2}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2cbff15cbbd48d50e1f0d7c92d65a2c8cdea80)
et
![{\displaystyle \qquad {\text{ϐ}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\sin q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a805049d2e2738d51a4c2b71c6b6c4065ad543ab)
partant
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}=2^{\frac {n-3}{2}}{\frac {\sin nq}{\sin q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342fd2484aa3764e59bf0e1f5d3baac010a644f5)
L’équation
![{\displaystyle 2\mathrm {N} _{n}={\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n}}{p}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\mathrm {N} _{n-1}}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70ed4e6267d52c493f50ce39e29a80ed43d2aa5)
donne
![{\displaystyle \mathrm {N} _{n}={\frac {\mathrm {Q} }{(8p-1)^{n-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8f87dca4d3374ab5dc8f3126182451447366ea)
Cette valeur de
ne commence à avoir lieu que lorsque
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q=N} _{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2a9e2eb11d7f88c565b8f69be97b1add394d93)
et
![{\displaystyle \qquad \mathrm {N} _{n}={\frac {\mathrm {N} _{2}}{(8p-1)^{n-2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024ff01c41f0332adb3961aa66a09221cf161e3b)
pareillement
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {N} }={\frac {\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} }}{(8\sideset {^{1}}{}p-1)^{n-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231fd69f41f500d466a18e575c87ede02ceda42f)
on déterminera
et
par ces équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}1=&{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2^{2}}}+p^{2}.\mathrm {N} _{2}+\sideset {^{1}}{^{2}}p.\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} },\\{\frac {1}{2}}=&{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2^{4}}}+p^{4}.\mathrm {N} _{2}+\sideset {^{1}}{^{4}}p.\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {N} }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62453e4762f80879760bd6bb9339076743b688ef)
On déterminera de la même manière les autres coefficients ![{\displaystyle \mathrm {M} _{n},\mathrm {L} _{n},\mathrm {K} _{n},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86ddd85faaa75e7ba54216527117bc7f59eb520)
XXXIII.
Problème XVII. – Deux joueurs
et
jouent à cette condition, qu’à chaque coup, celui qui perdra donnera un écu à l’autre ; Je suppose que l’adresse de
soit à celle de
comme
est à
et que l’un et l’autre ait un nombre
d’écus ; on demande quelle est la probabilité que le jeu finira avant, ou au nombre
de coups.