Je suppose d’abord
Soient
le nombre des cas suivant lesquels, au coup
le gain des deux joueurs est nul ;
le nombre des cas suivant lesquels le gain de l’un ou de l’autre est ![{\displaystyle 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256204a06aa74b64dbfb652b4f273f6d8f512b6b)
le nombre des cas suivant lesquels il est
et ainsi de suite.
Cela posé, on formera les équations suivantes :
![{\displaystyle (\psi )\quad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{0}}{_{x}}y=&\ \ \sideset {_{1}}{_{x-1}}y\\\sideset {_{1}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{0}}{_{x-1}}y+\quad \sideset {_{2}}{_{x-1}}y,\\\sideset {_{2}}{_{x}}y=&\quad \sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\quad \sideset {_{3}}{_{x-1}}y,\\\sideset {_{3}}{_{x}}y=&\quad \sideset {_{2}}{_{x-1}}y+\quad \sideset {_{4}}{_{x-1}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(\sigma )\qquad \sideset {_{n}}{_{x}}y=&\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{m-1}}{_{x}}y=&\sideset {_{m-2}}{_{x-1}}y.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610e9fbbf7d5c8d07e408317f8f71bb677efbab2)
Pour montrer par quel procédé on obtient ces équations, j’observe que, en un coup, il peut arriver deux cas différents, savoir, que
gagne, ou que ce soit
or il est clair que le gain ne peut être zéro au coup
sans avoir été
au coup
et chaque cas dans lequel il est
au coup
donne un cas dans lequel il est nul au coup
d’où je tire l’équation
![{\displaystyle \sideset {_{0}}{_{x}}y=\sideset {_{1}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c95c1b7a099e41a37f8853b9bfe21685046b76)
Ensuite tous les cas dans lesquels le gain est nul au coup
se donnent chacun deux cas dans lesquels il est
au coup
d’où l’on aura
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{x}}y=2.\sideset {_{0}}{_{x-1}}y+\sideset {_{2}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53655ceae25ee3db28f6b2ee895972eb5e857c27)
Il en est de même des autres équations. Enfin, on obtiendra la dernière en considérant que l’on doit exclure le terme,
parce que ce terme ne peut avoir lieu, tant que le jeu est supposé ne pas finir.
Le nombre de tous les cas possibles est
car, en nommant
ce nombre, comme il peut arriver au coup suivant deux cas différents,