partant
![{\displaystyle (c)\qquad \qquad \qquad \sideset {_{2}}{_{x-1}}y\mathrm {A} _{2}.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y=\mathrm {H} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y-\mathrm {\frac {M_{2}}{A}} \sideset {_{1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2483b06028ef806cc48e1ce4c3b0f6916f90950)
multipliant l’équation
par
l’équation
par
et les ajoutant avec l’équation
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{2}}{_{x}}y&+\sideset {_{2}}{_{x-1}}y(\mathrm {A} _{2}+\beta )+\beta \mathrm {A} _{2}.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y\\&=\sideset {_{1}}{_{x}}y(\alpha +\mathrm {H} _{2})+\sideset {_{1}}{_{x-1}}y\left[\alpha \mathrm {A} +\mathrm {M} _{2}+\beta \left(\mathrm {H} _{2}-{\frac {\mathrm {M} _{2}}{\mathrm {A} }}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9858047ed78124f6ed721ab43790e0b5a1bb6f47)
On fera disparaître
et
au moyen des équations
![{\displaystyle \alpha +\mathrm {H} _{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17118eeb8569321dbf788d5c61b3f62626edd429)
![{\displaystyle \alpha \mathrm {A} +\mathrm {M} _{2}+\beta \left(\mathrm {H} _{2}-{\frac {\mathrm {M} _{2}}{\mathrm {A} }}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac9c81b4c69d18d2a0994f43cbc96d3014a2460)
on voit que, en suivant ce procédé, il est toujours possible de transformer l’équation (1) du problème dans la suivante
(2)
|
|
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étant des fonctions de
et de constantes que l’on déterminera par la méthode suivante.
L’équation (2) donnera les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y\quad =&\mathrm {H} _{n}\left(a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+b_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots +u_{n-1}\right),\\\mathrm {M} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y=&\mathrm {M} _{n}\left(a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+b_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+\ldots +u_{n-1}\right),\\\mathrm {P} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y=&\mathrm {P} _{n}\left(a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+b_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-4}}y+\ldots +u_{n-1}\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c630b7a8e98ea7cdd02084202a73effe45223e4c)
En comparant ces équations avec l’équation (1), on aura
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7214486279ae1719be0720d293e144ff071c811)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n-1}\left(\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{n}\right)\\+&b_{n-1}\left(\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots +\mathrm {N} _{n}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&u_{n-1}\left(\mathrm {H} _{n}+\mathrm {M} _{n}+\mathrm {P} _{n}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89793f211f15e91d1f8f28eb29ae805febc473e)