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Si l’on compare cette équation avec l’équation (2), on aura

${\begin{aligned}a_{n}=&a_{n-1}-\mathrm {A} _{n},\\b_{n}=&b_{n-1}+a_{n-1}\mathrm {A} _{n}-\mathrm {B} _{n},\\c_{n}=&c_{n-1}+b_{n-1}\mathrm {A} _{n}++a_{n-1}\mathrm {B} _{n}-\mathrm {C} _{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u_{n}=&u_{n-1}\left(\mathrm {\mathrm {H} } _{n}+\mathrm {\mathrm {M} } _{n}+\mathrm {\mathrm {P} } _{n}+\ldots \right)-\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n-1}-b_{n-1}-c_{n-1}-\ldots \right).\end{aligned}}$

L’équation (1) du problème sera donc ainsi transformée dans l’équation (2) qui est aux suites récurrentes ordinaires, et que l’on intégrera facilement par la méthode exposée dans le Mémoire cité ci-dessus.

3. Problème II. – On propose d’intégrer l’équation différentio-différentielle

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y&+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{n}\\&=\mathrm {H} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y+\mathrm {M} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\mathrm {P} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \\&+\alpha _{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x}}y+\beta _{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y+\gamma _{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

en supposant que l’on ait

$\sideset {_{2}}{_{x}}y+\mathrm {A} .\sideset {_{2}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} .\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} =\mathrm {H} .\sideset {_{1}}{_{x}}y+\mathrm {M} .\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\mathrm {P} .\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\ldots .$

On fera voir aisément, comme dans le problème précédent, qu’il est toujours possible de transformer l’équation (3) dans une autre, telle que

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y&=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+b_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+c_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots +u_{n}\\&+h_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y+l_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+p_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$

on aura donc

${\begin{aligned}\alpha _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y\quad =\alpha _{n}&\left(a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+b_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+c_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+\ldots +u_{n-1}\right.\\&\left.+h_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x}}y\ +l_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y+p_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\ldots \right),\\\beta _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y=\beta _{n}&\left(a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+b_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+c_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-4}}y+\ldots +u_{n-1}\right.\\&\left.+h_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y+l_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+p_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-3}}y+\ldots \right),\\\gamma _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y=\gamma _{n}&\left(a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+\ldots +u_{n-1}\right.\\&\left.+h_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\ldots \right),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$