La sixième équation donne, en intégrant,
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}a={\frac {(n+1)(n-3)(n-4)}{1.2.3}}+\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32b173a0ce20b0458b949d8ec2515983faee73b)
Pour déterminer
j’observe que
égale
donc,
Partant
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}b=-{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e325ededba3fbb5b0dcf729670a8ba2e3b4cea34)
expression qui ne peut commencer à exister que lorsque
et ainsi de suite.
Enfin,
donc,
Or, posant
donc,
\mathrm C=0. Ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=&(n+1)\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-{\frac {(n+1)(n-2)}{1.2}}\sideset {_{n}}{_{x-4}}y\\&+{\frac {(n+1)(n-3)(n-4)}{1.2.3}}\sideset {_{n}}{_{x-6}}y-\ldots \\&+\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y-n.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}y+{\frac {n(n-3)}{1.2}}\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}y-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b92a905a502d6b3dc5e9204e2aba51584e7b20)
Si l’on suppose présentement
alors il ne faut point tenir compte des termes
parce que ces termes sont exclus des équations
on aura donc
![{\displaystyle \sideset {_{m-1}}{_{x}}y=m.\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y-{\frac {m(m-3)}{1.2}}\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y+{\frac {m(m-4)(m-5)}{1.2.3}}\sideset {_{m-1}}{_{x-6}}y-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c20cadfda947a3444da8f22d2b7290d5d56cf8c)
Si l’on substitue présentement dans cette équation, au lieu de
sa valeur
on aura, après avoir intégré,
![{\displaystyle z_{x}=m{\frac {1}{2^{2}}}z_{x-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}{\frac {1}{2^{4}}}z_{x-4}+{\frac {m(m-4)(m-5)}{1.2.3}}{\frac {1}{2^{6}}}z_{x-6}+\ldots +\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8734d381d7f4b5f17de0f5fc3554ef3a30fadd9)
Je suppose maintenant les adresses de deux joueurs inégales dans la raison de
à
soit
Cela posé, si l’on demande la probabilité de la combinaison suivante
![{\displaystyle {\begin{array}{lllllllll}1,&2,&3,&4,&5,&6,&7,&\ldots ,&x,&\\p,&q,&q,&p,&p,&p,&q,&\ldots ,&q,&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3338bb24fe469eec55bcdf2bbe7ca4c6a45639f8)
ce qui signifie
gagne au premier coup,
au second et au troisième,