partant,
![{\displaystyle u_{x}=p\left(1+{\frac {q^{m}}{p^{m}}}\right)\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a4e8dea00896b091a4a6f7a87c8ca9e620d8fd)
Soit
la probabilité que le jeu finira avant ou au coup
on aura
![{\displaystyle \Delta z_{x}=u_{x+1}=p\left(1+{\frac {q^{m}}{p^{m}}}\right)\sideset {_{m-1}}{_{x}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab6279b0e49a66311c271c96082b382b05a3f6c)
en substituant donc, au lieu de
cette valeur dans l’équation
on aura, après avoir intégré,
![{\displaystyle (\varpi )\qquad \quad \left\{{\begin{aligned}z_{x}=mpqz_{x-2}&-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}z_{x-4}\\&+{\frac {m(m-3)(m-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}z_{x-6}-\ldots +\mathrm {C} .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8294735889a1ef95cdc3c9690b426d04928bba1e)
Pour déterminer la constante arbitraire
j’observe que, tant que
est moindre que
égale
et que
étant égal à
égale
donc,
![{\displaystyle \mathrm {C} =p^{m}+q^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2b7e090afb51849c33d305021a8e522440cab1)
Soit
exprimera conséquemment la probabilité que le jeu ne finira pas avant ou au coup
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{x}=&mpqt_{x-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t_{x-4}+\ldots \\&-p^{m}-q^{m}+\left[1-mpq+{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}-\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ab0ab1690f6f8cb1811693719b921d9669da51)
Or il est remarquable que l’on a, quel que soit
et en supposant
![{\displaystyle 0=1-p^{m}-q^{m}-mpq+{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63aa9d1f88608f553a2bb4b4955aea8d5223f13)
ou, généralement, en supposant
et
quelconques,
![{\displaystyle (p+q)^{m}=mpq(p+q)^{m-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}(p+q)^{m-4}+\ldots +p^{m}+q^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44a2185c91e26038705dd05179d57822bf0d14f)
c’est ce dont on pourrait s’assurer par induction, en donnant à
dif-