Or on a, par les remarques précédentes,
![{\displaystyle p.\sideset {_{1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}=q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a67a735ddf5de57576af46e601e8eee880b352)
La première équation devient donc
![{\displaystyle \sideset {_{0}}{_{x}}y=2q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3188c0c220a91e81a1ef82aa7340c45739f94cec)
partant
![{\displaystyle \sideset {_{0}}{_{x-1}}y=2q.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c550c01f61560dfc2f50d0ec0ab82ebf22e42a1)
substituant cette valeur de
dans la seconde, on aura
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{x}}y=2qp.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7cbe72bc1a3326fcb0f25ecced631bf659fb92)
il est aisé de voir que les équations
se rapportent ainsi au Problème VIII. Soit donc
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{n-4}}y+\ldots +u_{n}+b_{n}.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4040df94ee6c8ec873171e4c77e3f419645448ca)
et l’on trouvera, en opérant exactement comme je l’ai fait ci-dessus, lorsque
et
étaient égaux,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=(n+1)pq.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y&-{\frac {(n+1)(n-2)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}y+\ldots \\&+q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y-npq^{2}.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}y+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50524b23f5ed9e2d28f0de234b78e7b4558d8cef)
Donc, si l’on suppose
on aura
![{\displaystyle (\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33b3aedd7f287568a72c7c682e8d1b1fbc32838)
![{\displaystyle \qquad \sideset {_{m-1}}{_{x}}y=mpq.\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263199b728a0f9c23927f71970014df4b4d4a6f6)
en rejetant les termes
qui ne peuvent avoir lieu, d’après la supposition que le jeu ne finit pas avant le coup
Soit maintenant
la probabilité que le jeu finira précisément au coup
il est visible que l’on aura
![{\displaystyle u_{x}=\sideset {_{m}}{_{x}}y+\sideset {_{m}}{_{x}}{\overset {1}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d3aea0803250dc225541ffca99577a3042b535)
or on a
donc
![{\displaystyle u_{x}=\left(1+{\frac {q^{m}}{p^{m}}}\right)\sideset {_{m}}{_{x}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8238ac2d3b5d413d02c38d524e756d2f8d7725d4)
de plus,
![{\displaystyle \sideset {_{m}}{_{x}}y=p.\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7aeb3dddb81e3c1efecde5ef367f0c8e30c93b7)