exister lorsque
la seconde, lorsque
la troisième, lorsque
etc.
Cela posé, en intégrant la première, on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{m}=mpq+\mathrm {C} ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c98545ebd4d313da3083990bb2db516cbbb036)
Or, posant
on a
![{\displaystyle \mathrm {A} _{2}=2pq\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360f56f4dac75e94736f3eb8286eeff869a1e4a1)
donc ![{\displaystyle \mathrm {C} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81dd1e433f88327c928ec178a0dfc436ecb142f)
Ensuite, la seconde donne
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{_{m}}{\mathrm {A} }=-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}+\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84f67976a705f2e8179b093b6803debf8b7c18b)
or, posant
parce que
ne peut avoir d’exposant négatif dans la formule
donc
et ainsi du reste. Donc
![{\displaystyle (p+q)^{m}=mpq(p+q)^{m-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}(p+q)^{m-4}+\ldots +p^{m}+q^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44a2185c91e26038705dd05179d57822bf0d14f)
ainsi l’on aura
![{\displaystyle (\delta )\qquad \qquad t_{x}=mpqt_{x-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t_{x-4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284d6bc593de85d103fbdc1755097cac973b9e1c)
Pour intégrer cette équation, je commence par observer qu’elle est différentielle de l’ordre
ou
suivant que
est pair ou impair. De plus, il est aisé de voir, à l’inspection des équations
qu’elle commence à exister lorsque
Ainsi, les constantes arbitraires qui viennent par l’intégration doivent être déterminées par les valeurs de
lorsqu’on fait ![{\displaystyle x=0,\ x=2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd1a8bdd65a6b5f2a89e83639b677ae7ddc48bd)
ou ![{\displaystyle x=1,\ x=3,\ x=5,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2576a4e85f7c3dbe6cba5082b5fefde889f71466)
suivant que
est pair ou impair. Or, toutes ces valeurs sont égales à l’unité, puisqu’il est certain que le jeu ne peut finir avant
coups.
Présentement, si l’on suppose
égal à
ou
suivant que
est pair ou impair, on aura
![{\displaystyle t_{x'}=mpqt_{x'-2}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t_{x'-4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debd9589c27753cd4ba4fe81827add8cb5d913fa)
L’intégrale de cette équation dépend de la résolution de cette équa-