tion algébrique
![{\displaystyle f^{\frac {m}{2}}=mpqf^{{\frac {m}{2}}-1}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}f^{{\frac {m}{2}}-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a827c00d55ace7fcf2ec771ba18ef026bbac5dc3)
si
est pair, ou de celle-ci
![{\displaystyle f^{\frac {m-1}{2}}=mpqf^{{\frac {m-1}{2}}-1}-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}f^{{\frac {m-1}{2}}-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943a3d5ca88ab2271bea68ab0cb71808401a9b0e)
si
est impair.
Or, si l’on fait
on a, comme l’on sait,
![{\displaystyle \cos m\varphi =2^{m-1}y^{m}-m2^{m-3}y^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{1.2}}2^{m-5}y^{m-4}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89a7ae8fd4851b749ee42c16d539f23c5f1a1d1)
Soit
et l’on aura
![{\displaystyle 0=y^{m}-m{\frac {1}{4}}y^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}y^{m-4}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf47fb66c83bcc6ef635c965833f7b88bdbbf3e)
lorsque
est pair, ou
![{\displaystyle 0=y^{m-1}-m{\frac {1}{4}}y^{m-3}+{\frac {m(m-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}y^{m-5}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c758917b6d9cf7ebae441dae1d083d5d0e9346f)
lorsque
est impair.
Les différentes valeurs de
dans cette équation sont les cosinus des différents arcs, qui, multipliés par
ont leurs cosinus égaux à zéro ; or les arcs qui ont leurs cosinus nuls sont
exprimant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. Les différentes valeurs de
sont, conséquemment, plus et moins les cosinus des arcs
jusqu’à
ou
inclusivement, suivant que
est pair ou impair ; les cosinus des arcs suivants étant les mêmes, à la différence des signes près, celui de
étant nul ; soient donc
ces différents cosinus, les valeurs de
seront donc
Or il est aisé de voir que
partant, les différentes valeurs de
seront
d’où l’on aura
![{\displaystyle t_{x}=\mathrm {A} \left(2l{\sqrt {pq}}\right)^{x}+\mathrm {A} _{1}\left(2l_{1}{\sqrt {pq}}\right)^{x}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d66e83c370662fa984d6aa0a45d3a56df8511d4)