d’où, en comparant, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}=&a_{n-1}+r,\\b_{n}=&q,\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-a_{n-1}r+pb^{n-1},\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&-a_{n-1}q,\\\sideset {^{2}}{_{n}}a=&\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}ar+p.\sideset {^{1}}{_{n-1}}b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab92b15c3bcca1d5a5b4a71f0b4f0e68b6ef055)
La première de ces équations commence à exister lorsque
égale
la seconde, lorsque
égale
la troisième, lorsque
égale 2 ; etc. On aura donc, en intégrant et ajoutant les constantes convenables,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}=&r(n+1),\\b_{n}=&q,\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&-r^{2}{\frac {n(n+1)}{1.2}}+pq(n+1),\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&-a_{n-1}q=-qrn.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c40784cfad69188422de5a5ea100e88ab033870)
Cette dernière équation étant vraie, lorsque
égale
il suit que la cinquième équation commence à exister lorsque
égale
ce qui donne
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}a=r^{3}{\frac {(n+1)n(n-1)}{1.2.3}}-pqr(n+1)(n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d54045c745915a213341e17116eb033f8109ff0)
Donc
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}b=qr^{2}{\frac {n(n-1)}{1.2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dd995728961e052d42305361c751a14fa0e3e7)
équation qui commence à exister lorsque
égale
parce que
égale
Donc, la sixième équation commence à exister lorsque
égale
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{3}}{_{n}}a=&-r^{4}{\frac {(n+1)n(n-1)(n-2)}{1.2.3.4}}\\&+pqr^{2}(n+1)(n-1)(n-2)-p^{2}q^{2}{\frac {(n+1)(n-2)}{1.2}}+\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac1cc541c6f9cf94e9a7be1ac7defa430be7065)