des deux joueurs est nul, multipliés par leurs probabilités :
le nombre des cas suivant lesquels le gain du joueur
est
au coup
multipliés par leur probabilité, et que,
expriment les mêmes choses pour le joueur
Cela posé, on formera les équations suivantes :
(–)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{0}}{_{x}}y=&r.\sideset {_{0}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}},\\\sideset {_{1}}{_{x}}y=&r.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{0}}{_{x-1}}y,\\\sideset {_{2}}{_{x}}y=&r.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n}}{_{x}}y=&r.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{m-1}}{_{x}}y=&r.\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y+p.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cf74fad6848cd4fd9243f324937af9f28fec64)
Or on a
![{\displaystyle p.\sideset {_{1}}{_{x-1}}{\overset {1}{y}}=q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c5416963a7454e8bfb2c91c944a400650bee3f)
la première équation deviendra donc
![{\displaystyle \sideset {_{0}}{_{x}}y=r.\sideset {_{0}}{_{x-1}}y+2q.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8969b354aa9bbf0fbde11ae8d16317c74673a22e)
et, si on la combine avec la seconde, on aura
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{x}}y=2r.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\left(2pq-r^{2}\right)\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+q.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y-qr.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36b259d7aeb6859bb0c3c34766c3586c6c85b72)
Soit maintenant
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +u_{n}+b_{n}.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}b.\sideset {_{n+1}}{_{x-2}}y+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62caa2c5746d33b12bcdf2faca1702e1f22af526)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}p.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y=&a_{n-1}p.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{_{n-1}}ap.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y+\ldots +pu_{n-1}\\&+b_{n-1}p.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{_{n-1}}bp.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a0726e41b20a6515e3a4779959ba9a15d7e472)
Substituant au lieu de
leurs valeurs que donne l’équation (–), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=&\left(a_{n-1}+r\right)\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-a_{n-1}r+pb_{n-1}\right)\sideset {_{n}}{_{x-2}}y\\&+\left(\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}ar+p.\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\right)\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots \\&+q.\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y-a_{n-1}q.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}y-\sideset {^{1}}{_{n-1}}aq.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}y-\ldots +pu_{n-1}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798f7f923f71506f47b4aaa2ae79316cd983643d)