ticle XXXVII,
![{\displaystyle x=r\cos \varphi ,\qquad y=r\sin \varphi ,\qquad z=rs\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0ca9fd1d31b1e2398ce7d581331daf4ddd0012)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}x=&d^{2}r\cos \varphi -2drd\varphi \sin \varphi -rd^{2}\varphi \sin \varphi -rd\varphi ^{2}\cos \varphi ,\\d^{2}y=&d^{2}r\sin \varphi +2drd\varphi \cos \varphi +rd^{2}\varphi \cos \varphi -rd\varphi ^{2}\sin \varphi ,\\d^{2}z=&rd^{2}s+2dsdr+sd^{2}r.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0b04eb808cabed9d9cf283bcd731ef5403a717)
Or, si l’on suppose que la droite
soit infiniment près de
alors
sera la force suivant
et tendant de
vers
sera la force perpendiculaire à
, et dirigée dans le sens
que je suppose être celui du mouvement de la planète ; de plus,
et
d’où l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}x=&d^{2}r-rd\varphi ^{2},\\d^{2}y=&rd^{2}\varphi +2drd\varphi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb1a65bafdadc841309fcff24b25e79393d8c6d)
partant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }}=0\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2766f5180ab769afbbc5189457de0bd55b24ac4)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {rd^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {2drd\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {\psi '}{\mathrm {M} }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e718db661483bf7a4ec5f3186e3f8afbca15c7)
Si l’on multiplie cette dernière équation par
et que, ensuite, on l’intègre, on aura
(1)
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La première équation donnera
(2)
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et, puisque l’on a
![{\displaystyle d^{2}z=rd^{2}s+2dsdr+sd^{2}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e336cef82bc8c1d3f41a1322e6b50a6889cad45a)
![{\displaystyle =rd^{2}s+2dsdr+\left[{\frac {s\psi ''}{\mathrm {M} }}+{\frac {s}{r^{3}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}\right]dt^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26d6afd2637b4bdeab7613dc177e2eb39c35ffd)
on aura
(3)
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Au moyen des équations (1), (2) et (3) on peut déterminer le mou-