sentement une méthode pour déterminer ces variations, quelle que soit l’excentricité des orbites.
Je reprends les équations
(3)
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(4)
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Puisque
est supposé constant, on aura
![{\displaystyle \int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}={\frac {\alpha \mathrm {ST} \varphi }{\theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11c128578ae551a1824c5a1efd9c9fbafb16a3c)
Soit
![{\displaystyle {\frac {\alpha \mathrm {ST} }{\theta }}={\text{ϐ}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290e8c13efd1d59c8a2621b5b4d036fe06ade96c)
l’équation (3) devient ainsi
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c-{\text{ϐ}}\varphi }{r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b63e9f401eb45306573a49d9f85ce4ff3a6af27)
l’équation (4) donne celle-ci,
![{\displaystyle 0=d\left({\frac {dr}{dt}}\right)-r{\frac {d\varphi ^{2}}{dt}}+i{\frac {\mathrm {S} dt}{r^{2}}}+{\text{ϐ}}{\frac {dr}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db847c653d3bb679f4b34c0a045196374483d8c8)
équation dans laquelle je puis faire varier
or, si l’on y substitue au lieu de
sa valeur
et que l’on fasse
on aura, en supposant
constant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{d\varphi }}+zd\varphi ={\frac {\mathrm {S} d\varphi }{\left(c-{\text{ϐ}}\varphi \right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8df1693335a4294d5e7a5885a36598ade9dfdc)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle z=\sin \varphi \int {\frac {\mathrm {S} d\varphi \cos \varphi }{\left(c-{\text{ϐ}}\varphi \right)^{2}}}-\cos \varphi \int {\frac {\mathrm {S} d\varphi \sin \varphi }{\left(c-{\text{ϐ}}\varphi \right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efb9cd43f4be411a487afa6239e31cebf510784)
Comme il paraît très difficile d’intégrer rigoureusement ces quantités, je les réduis en séries ; or on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \varphi ^{n}d\varphi \cos \varphi =&\varphi ^{n}\sin \varphi +n\varphi ^{n-1}\cos \varphi -n(n-1)\varphi ^{n-2}\sin \varphi \\&-n(n-1)(n-2)\varphi ^{n-3}\cos \varphi +\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e2f33a9b0c04649b26ee1b875f72bd5706ab68)