et
![{\displaystyle \int \varphi ^{n}d\varphi \sin \varphi =-\varphi ^{n}\cos \varphi +n\varphi ^{n-1}\sin \varphi +n(n-1)\varphi ^{n-2}\cos \varphi -\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2905fc1ccd0e69632f14710af908f97ecba91d74)
partant
![{\displaystyle \sin \varphi \int \varphi ^{n}d\varphi \cos \varphi -\cos \varphi \int \varphi ^{n}d\varphi \sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bd9790b84f9bad9ab351e4c1a116839495b58b)
![{\displaystyle =\varphi ^{n}-n(n-1)\varphi ^{n-2}+n(n-1)(n-2)(n-3)\varphi ^{n-4}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f1c464ba4539359121223e62c29629d668ad5e)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle z=\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )+{\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\left[1+{\frac {2{\text{ϐ}}}{c}}\varphi +{\frac {3{\text{ϐ}}^{2}}{c^{2}}}\left(\varphi ^{2}-1.2\right)+{\frac {4{\text{ϐ}}^{3}}{c^{3}}}\left(\varphi ^{3}-2.3\varphi \right)+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5762d7ffc7301e72285dc4cc4e3343d8e30d20e)
Maintenant, puisque l’on a
![{\displaystyle dt={\frac {r^{2}d\varphi }{c-{\text{ϐ}}\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec7b11e87e40ac1f97a5e6c03bd9f20dc94e9f3)
et
![{\displaystyle r={\frac {1}{z}}={\frac {1}{\mathrm {K} \cos(\varphi +\varepsilon )+{\cfrac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\left(1+{\cfrac {2{\text{ϐ}}}{c}}\varphi +\ldots \right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60656d4d27901f0cb91bc0461621d20c1b06888)
on aura
en
partant
en
par le retour des suites ; d’où il sera aisé de conclure
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si l’on nomme
le demi grand axe d’une ellipse,
son excentricité,
la distance de la planète qui circule dans cette ellipse au périhélie, lorsque
on aura
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(\varphi +\varepsilon )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f30e5ac686eb856a623ea96cb1988a543fe384d)
partant, si l’on considère l’orbite de la planète
comme une ellipse dont le demi grand axe et l’excentricité varient, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{a\left(1-e^{2}\right)}}={\frac {\mathrm {S} }{c^{2}}}\left(1+{\frac {2{\text{ϐ}}}{c}}\varphi +\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee801966f507b72846d1fe073420c9aaebf432c0)
Je n’aurai égard ici qu’aux quantités de l’ordre de ϐ, et je désignerai par
et
les variations extrêmement petites de
et de
cela posé,