(C), etc. J’y suppose d’abord
elles deviennent
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8e0f254373f55f02e173ce54ab348fcdc00545)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {c}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} +p}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\0=&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}s}{r^{4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e985efa486a41b4d50de3a483b90662c349efe)
Au lieu de supposer, comme précédemment,
je le supposerai de l’ordre de
et je ferai
Il est clair que les trois équations précédentes sont celles d’une ellipse projetée sur un plan fixe, et l’on aura, aux quantités près de l’ordre de ![{\displaystyle \alpha ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0f578b9d6334c0d4b87d61ec4b95f79f9c32cd)
![{\displaystyle s=\alpha \gamma \sin(\varphi +\varpi )\qquad s'=\alpha \gamma '\sin(\varphi '+\varpi '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac71f446c9c47a897c7cd09a370b1a1cebc7145)
et
étant les tangentes des inclinaisons des orbites de
et
?’sur le plan fixe. Cela posé, l’équation (C) donne
(10)
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Je ne ferai attention qu’aux termes de la forme
![{\displaystyle \cos(nt+\theta )\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86806c544c739ced68e5b0b84bde30746563f9d)
et
![{\displaystyle \quad \sin(nt+\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086b4a53d4f23eb90569009476aaff1a9f6b7839)
étant la quantité dont la planète est plus avancée que son nœud lorsque
soit donc, en poussant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre de
exclusivement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {2c\lambda }{r^{4}}}\delta m'\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\\&+{\frac {\delta m'}{r}}\left[\lambda '-\lambda \cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]\\&\quad =\mathrm {E} n^{2}\delta \mu '\sin(nt+\theta )+\mathrm {F} n^{2}\delta \mu '\cos(nt+\theta )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad27e29412a860bea178a282b13f329fa102b67)