on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta \lambda }{dt^{2}}}+{\frac {2d\lambda d\delta r}{rdt^{2}}}+{\frac {2drd\delta \lambda }{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}\delta \lambda }{r^{4}}}+{\frac {4c^{2}\lambda \delta r}{r^{5}}}\\&\quad +\mathrm {E} n^{2}\delta \mu '\sin(nt+\theta )+\mathrm {F} n^{2}\delta \mu '\cos(nt+\theta ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b54221847ef961b68e633bcb8742ff4910987e)
Soit
![{\displaystyle \delta \lambda =\delta \mu 'gnt\sin(nt+\theta )+\delta \mu 'fnt\cos(nt+\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599cc6a9c994900b9d01c32a01d527e5baee0a9d)
et l’on trouvera, en substituant dans l’équation précédente, au lieu de
cette valeur, et, au lieu de
sa valeur ci-dessus,
![{\displaystyle f={\frac {1}{2}}\mathrm {E} +2\gamma \mathrm {A} \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a502fd9897d23ed07437972f3816027c01a66d1)
et
![{\displaystyle \qquad g=-{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb9d72e7a2f19c260a3b35814e1a58b70371231)
partant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \lambda =&\alpha \gamma \sin(nt+\theta )+\alpha \delta \mu 'nt\left(2\mathrm {A} \gamma +{\frac {1}{2}}\mathrm {E} \right)\cos(nt+\theta )\\&-{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \delta \mu 'nt\sin(nt+\theta ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2676fd54ed21e9e1097b8ef3078cad340ce7e891)
d’où l’on tire
![{\displaystyle s=\left(\alpha \gamma -{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \delta \mu 'nt\right)\sin \left[nt\left(1+2\mathrm {A} \delta \mu '+{\frac {\mathrm {E} \delta \mu '}{2\gamma }}\right)+\theta \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2291a8813cf7d3cbcafae9a0a5db708c83fc92d3)
La diminution de l’inclinaison de l’orbite de
sur le plan fixe sera donc
et le mouvement rétrograde de ses nœuds sur le même plan
Il ne s’agit donc plus que de déterminer
et
or, en nommant
la longitude du nœud de
sur le plan fixe, moins celle du nœud de
à l’origine du mouvement, j’ai trouvé
Diminution séculaire de inclinaison de l’orbite
sur le plan fixe
![{\displaystyle ={\frac {zb_{1}}{4}}\alpha \gamma '\sin \mathrm {I} \delta \mu 'i.360^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05d694b642f0e9df1fe98e184ad529682901259)
et
Mouvement rétrograde de ses nœuds sur le même plan
![{\displaystyle ={\frac {zb_{1}}{4}}\delta \mu '\left(1-{\frac {\gamma '}{\gamma }}\cos \mathrm {I} \right)i.360^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a5c9e286269558f8592417012f1ce72fb353aa)
Ces formules du mouvement du nœud et de la variation de l’inclinaison s’accordent avec celles de M. de Lagrange, et avec celles que M. Euler a données dans sa première pièce sur Jupiter et Saturne ; car