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avoir intégré,

$\sideset {_{n}}{_{x}}z=$

${\frac {n}{4}}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}z-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}z+{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}{\frac {1}{4^{3}}}.\sideset {_{n}}{_{x-6}}z-\ldots +\mathrm {H} \,;$

pour déterminer cette constante $\mathrm {H} ,$ on doit observer qu’en supposant $x=n,$ on aura

$\sideset {_{n}}{_{x}}z=1-{\frac {1}{2^{n-1}}},\qquad \sideset {_{n}}{_{x-2}}z=1,\qquad \sideset {_{n}}{_{x-4}}z=1,\qquad \ldots ,$

donc

$1-{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {1}{4}}n-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}{\frac {1}{4^{3}}}-\ldots +\mathrm {H} .$

Or on sait que, si l’on nomme $\cos \varphi =y,$ on aura

$\cos n\varphi =2^{n-1}y^{n}-n2^{n-3}y^{n-2}+{\frac {n(n-3)}{1.2}}2^{n-5}y^{n-4}+\ldots .$

Posant donc $\varphi =0,$ on aura

$1-{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {n}{4}}-{\frac {n(n-3)}{1.2.4^{2}}}+{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3.4^{3}}}-\ldots ,$

d’où l’on conclut $\mathrm {H} =0.$

Supposons actuellement que $n$ soit un nombre impair, $x$ sera alors impair, et nous aurons

$\sideset {_{n}}{_{x}}z={\frac {\sideset {_{1}}{_{x}}y+\sideset {_{3}}{_{x}}y+\sideset {_{5}}{_{x}}y+\ldots +\sideset {_{n-2}}{_{x}}y}{2^{x}}}\,;$

ensuite on formera les équations suivantes :

${\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}y=&3.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\sideset {_{3}}{_{x-2}}y,\\\sideset {_{3}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\sideset {_{5}}{_{x-2}}y,\\\sideset {_{5}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{5}}{_{x-2}}y+\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\sideset {_{7}}{_{x-2}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n-2}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\sideset {_{n-4}}{_{x-2}}y\,;\end{aligned}}$

en opérant ensuite comme précédemment, on aura l’équation

$\sideset {_{n}}{_{x}}z={\frac {n}{4}}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}z-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}z+\ldots ,$

la même que pour les nombres pairs.