valeurs que fournit l’équation (h), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{q}}{_{x}}y=&\left(2+a_{q-2}\right).\sideset {_{q}}{_{x-2}}y+\left(b_{q-2}-2a_{q-2}+h_{q-2}\right).\sideset {_{q}}{_{x-4}}y\\&+\left(c_{q-2}-2b_{q-2}+l_{q-2}\right).\sideset {_{q}}{_{x-6}}y+\ldots \\&+\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y-a_{q-2}.\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y-b_{q-2}.\sideset {_{q+2}}{_{x-6}}y-\ldots +u_{q-2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce87d70fc994a880329e5a73b3e5e89f79522ed8)
Donc, en comparant cette équation avec l’équation
on aura :
![{\displaystyle 1^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2+a_{q-2}=a_{q}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723f7b86abd0f3b001fb459bc36ff733154430fa)
or, comme ici la différence constante est
on aura en intégrant
étant une constante, et, posant
on a
donc
partant
en faisant ![{\displaystyle q+2=m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5f248939b3791f1d2f4d8085f6cf4439a4bdd4)
![{\displaystyle 2^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad h_{q}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de9c91b5872e9193ad3db7c60db0ee10145b269)
![{\displaystyle 3^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad b_{q-2}-2a_{q-2}+h_{q-2}=b_{q}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1ac6d0bdfdeee18f6a1876478abd1dfe214146)
d’où l’on conclura en intégrant et ajoutant la constante convenable
![{\displaystyle 4^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad l_{q}=-a_{q-2}=-(m-2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a60f7ab28c8e8ab60445c2fe7c8ef42c70a9641)
![{\displaystyle 5^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad c_{q}=c_{q-2}-2b_{q-2}+l_{q-2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055c07dbf5595a365ee8c9670495da7e076399db)
donc
enfin
partant
or
étant
on a
donc
ainsi l’on aura
![{\displaystyle \sideset {_{q}}{_{x}}y=m.\sideset {_{q}}{_{x-2}}y-{\frac {m(m-3)}{1.2}}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+{\frac {m(m-4)(m-5)}{1.2.3}}.\sideset {_{q}}{_{x-6}}y-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52f6695280e09374b8d9e78dfa5d53090c7740d)
![{\displaystyle +\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y-{\frac {m-2}{1}}.\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a142b1d9171abe2c5f88e6b1b353d295883992)
Si nous supposons maintenant
alors il ne faudra point tenir compte des termes
et nous aurons dans cette supposition
donc
![{\displaystyle \sideset {_{n-2}}{_{x}}y=n.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y-{\frac {n(n-3)}{1.2}}.\sideset {_{n-2}}{_{x-4}}y+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bad1c04c6d9721177278225d9e2a17e0bebdf16)
Substituant dans cette équation, au lieu de
leurs valeurs
nous aurons, après