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valeurs que fournit l’équation (h), on aura

${\begin{aligned}\sideset {_{q}}{_{x}}y=&\left(2+a_{q-2}\right).\sideset {_{q}}{_{x-2}}y+\left(b_{q-2}-2a_{q-2}+h_{q-2}\right).\sideset {_{q}}{_{x-4}}y\\&+\left(c_{q-2}-2b_{q-2}+l_{q-2}\right).\sideset {_{q}}{_{x-6}}y+\ldots \\&+\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y-a_{q-2}.\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y-b_{q-2}.\sideset {_{q+2}}{_{x-6}}y-\ldots +u_{q-2}.\end{aligned}}$

Donc, en comparant cette équation avec l’équation $(k),$ on aura :

$1^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2+a_{q-2}=a_{q}\,;$

or, comme ici la différence constante est $2,$ on aura en intégrant $a_{q}=q+c,\ c$ étant une constante, et, posant $q=2,$ on a $a_{q}=4\,;$ donc $c=2,$ partant $a_{q}=q+2=m,$ en faisant $q+2=m.$

$2^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad h_{q}=1.$

$3^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad b_{q-2}-2a_{q-2}+h_{q-2}=b_{q}\,;$

d’où l’on conclura en intégrant et ajoutant la constante convenable $b_{q}=-{\frac {m(m-3)}{1.2}}.$

$4^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad l_{q}=-a_{q-2}=-(m-2).$

$5^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad c_{q}=c_{q-2}-2b_{q-2}+l_{q-2}\,;$

donc $c_{q}={\frac {m(m-4)(m-5)}{1.2.3}}\ldots ,$ enfin $u_{q}=u_{q-2}\,;$ partant $u_{q}=\mathrm {C} \,;$ or $q$ étant $2,$ on a $\mathrm {C} =0,$ donc $u_{q}=0\,;$ ainsi l’on aura

$\sideset {_{q}}{_{x}}y=m.\sideset {_{q}}{_{x-2}}y-{\frac {m(m-3)}{1.2}}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+{\frac {m(m-4)(m-5)}{1.2.3}}.\sideset {_{q}}{_{x-6}}y-\ldots$

$+\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y-{\frac {m-2}{1}}.\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y+\ldots .$

Si nous supposons maintenant $q=n-2,$ alors il ne faudra point tenir compte des termes $\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y,\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y,\ldots ,$ et nous aurons dans cette supposition $m=n\,;$ donc

$\sideset {_{n-2}}{_{x}}y=n.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y-{\frac {n(n-3)}{1.2}}.\sideset {_{n-2}}{_{x-4}}y+\ldots .$

Substituant dans cette équation, au lieu de $\sideset {_{n-2}}{_{x}}y,\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y,\ldots ,$ leurs valeurs $-2^{x+2}\Delta .\sideset {_{n}}{_{x}}z--2^{x}\Delta .\sideset {_{n}}{_{x-2}}z,\ldots ,$ nous aurons, après