donc, en comparant, on aura
![{\displaystyle 3\mathrm {L} \delta \mu '^{2}\mathrm {T} +\mathrm {K} \delta \mu '=\mathrm {K} '\delta \mu '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1e393207e451bf863709b91659ff855ec02d58)
partant,
![{\displaystyle \mathrm {L} \delta \mu '={\frac {1}{3}}\mathrm {\frac {K'-K}{T}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff10aad8c19f85e08c027417dc1c0526c6383102)
On voit donc que, pour avoir
il faut différentier
en y faisant varier
des quantités dont elles ont varié après le temps
diviser cette différence par
et en prendre le tiers.
Comme la variation de
est de l’ordre de
celles de
et
étant de l’ordre de
on peut regarder dans la différentiation
comme constant.
On obtiendrait, par une méthode semblable, les termes proportionnels à la quatrième, cinquième, etc. puissance du temps.
Pareillement, on peut supposer le mouvement de l’apogée égal à
J’ai déterminé ci-devant
en fonction de
et
Soient donc
et
ce que devient
après le temps
le mouvement dans l’intervalle
sera
![{\displaystyle \mathrm {H} \delta \mu 't_{1}+2\mathrm {M} \delta \mu '^{2}\mathrm {T} t_{1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a822a6b3c1783e0fae3f9e707ab0b1ca906ac743)
d’où l’on tirera
![{\displaystyle \mathrm {H'=H+2M\delta \mu 'T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48146dff0661816227457e2a1c2021683dbbb02e)
partant
![{\displaystyle \mathrm {M\delta \mu '={\frac {H'-H}{2T}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d1ede37be60ef8147f5209091c797e30b2761d)
On déterminerait de la même manière les inégalités proportionnelles au carré, au cube, etc. des temps, dans les autres éléments de l’orbite ; mais toutes ces inégalités sont encore trop peu sensibles pour y avoir égard.
LVII.
Application des formules précédentes à Jupiter et à Saturne.
M. de Lagrange a trouvé dans le Mémoire cité précédemment (voir le IIIième Vol. des Mémoires de Turin, p. 376), en supposant que
soit