De plus, si l’on considère avec attention ces mêmes équations (6) et (7), on verra que l’expression de l’accélération du mouvement moyen est exacte aux quantités près de l’ordre de
en sorte qu’elle serait la même si l’on avait égard dans le calcul aux quantités de l’ordre de
pareillement, on verra que les formules du mouvement des nœuds et de l’apogée, et de la variation de l’excentricité et de l’inclinaison sont exactes, aux quantités près de l’ordre de
on peut donc les regarder comme fort approchées.
LVI.
Je vais présentement déterminer les inégalités proportionnelles au cube et aux puissances supérieures du temps dans le moyen mouvement des planètes, et celles qui sont proportionnelles au carré et aux puissances supérieures du temps, dans les autres éléments de leurs orbites.
Il est aisé de voir, à l’inspection des équations du problème, que l’on aura
![{\displaystyle \varphi =nt+\mathrm {K} \delta \mu 't^{2}+\mathrm {L} \delta \mu '^{2}t^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c324427f6ae129cce3b7b3f045154be48814a5f1)
J’ai précédemment déterminé
en fonction de
et
et j’en conclus
de la manière suivante. Pour cela, je fais
![{\displaystyle t=\mathrm {T} +t_{1}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474e48a03d6a54133beac64cf4f0fe4b633c41d6)
et
![{\displaystyle \qquad \varphi =\Phi +\varphi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9cc6d73755c7b7ded122c2a02c4eb6aad7441f2)
et
étant considérablement plus grands que
et
et
étant nul lorsque
égale
on aura donc
![{\displaystyle \varphi _{1}=nt_{1}+2\mathrm {K} \delta \mu '\mathrm {T} t_{1}+\delta \mu '\mathrm {K} t_{1}^{2}+3\mathrm {L} \delta \mu '^{2}\mathrm {T} ^{2}t_{1}+3\mathrm {L} \delta \mu '^{2}\mathrm {T} t_{1}^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50388f622d1757bc0780af9e5053c930e42c2b50)
mais si l’on nomme
ce que devient
lorsqu’on y met, au lieu de
et
les valeurs qui ont lieu après le temps
et que l’on nomme
ce que devient
après ce temps, on aura
![{\displaystyle \varphi _{1}=n_{1}t_{1}+\mathrm {K} '\delta \mu 't_{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5733dd6759f5a68e66fb406a7817d6c78658cc9)