vantes :
![{\displaystyle (\Psi )\left\{{\begin{aligned}\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {A} }=&\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\right),\\\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {B} }=&{\frac {n-1}{n-2}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-2}\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\right),\\\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {C} }=&{\frac {n-1}{n-3}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-3}\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {G} }=&n\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {G} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {G} }\right),\\\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {H} }=&\left({\frac {a}{n-1}}\right)^{n-1}\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }+{\frac {n-1}{n-2}}\left({\frac {a}{n-1}}\right)^{n-2}\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }+\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0f5954f9ea31e469efa9a525c6045b3a6f8945)
Ces équations sont aux différences finies-partielles, excepté la dernière qui donne sans aucune intégration la valeur de
lorsqu’on connaît
On peut déterminer encore
par la considération suivante ; il est visible que
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n,0}}y=\sideset {_{r-1}}{_{n,{\frac {a}{n}}}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb32174e4508c9357539001838013b9c9a3812a)
c’est-à-dire que l’ordonnée de la courbe des probabilités, qui répond à l’extrémité de la
ième partie de la droite
divisée en
parties égales, est la même que l’ordonnée qui répond au commencement de la
ième partie ; donc on a
![{\displaystyle (\Gamma )\qquad \qquad \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {H} }=\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {A} }\left({\frac {a}{n}}\right)^{n-1}+\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {B} }\left({\frac {a}{n}}\right)^{n-2}+\ldots +\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {H} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7682e583c55ec6a7a6356caec4a98fd66db21532)
ou
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {H} }-\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {H} }=\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {A} }\left({\frac {a}{n}}\right)^{n-1}+\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {B} }\left({\frac {a}{n}}\right)^{n-2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589f7fe79789dd9d8c17d236cf2147fa4605a7c4)
Partant, en intégrant par rapport à
seul, on a
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {H} }=\sum \left[\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {A} }\left({\frac {a}{n}}\right)^{n-1}+\sideset {_{r-1}}{_{n}}{\mathrm {B} }\left({\frac {a}{n}}\right)^{n-2}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bf2fa83e440e33225fdbbd2d7ca5045b10598b)
la caractéristique
étant le signe d’intégration pour les différences finies. Déterminons présentement
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {A} },\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {B} },\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97103b40eb5f8e24124a72691a0e0c74075539eb)