La première des équations
donne
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\sideset {_{1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ecea28b0e27f932ea80183f1dc99ac93f4321c1)
et en intégrant, par la méthode de la page 74 de ce Volume, on aura
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\mathrm {H} \left({\frac {2}{1}}\right)^{1}\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}\ldots \left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb2445375fa6a26643e9cd10fdfcc31a7c70e18)
étant une constante arbitraire ; or, posant
on a,
donc
on a d’ailleurs
![{\displaystyle \left({\frac {2}{1}}\right)^{1}\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\ldots \left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}={\frac {n^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f54398210221d4dad09cab0ced4222b2526b2c)
en désignant, comme je l’ai fait ailleurs (voir la page 74 de ce Volume), le produit
par
on aura donc
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe3800410413886fd0570bfb5924e7d39eccf15)
partant,
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\left[\sideset {_{2}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }-{\frac {(n-1)^{n-2}}{\nabla (n-2)}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c02be1600d7329488fcefd70e2c4b3cb544005)
soit
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}u_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a191a6ba45d9cc92c021c2da1d7360adcddad47c)
on aura
![{\displaystyle u_{n}=u_{n-1}-1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51671921ea4cadd4b1999de82a99766135c25702)
donc
![{\displaystyle u_{n}=-n+\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8ecf6f98637da14edab6d6d141d49207c8dc1c)
partant,
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=-{\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}(n-\mathrm {H} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883baf0db4cc3e3bdaeb7d026c574d7babca97c9)
or, posant
on a
car on a, par l’article II,
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{2,z}}y=-2z+a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab21e4bda2264b4d081d3ddf28121d6e77986e3b)
donc
![{\displaystyle \mathrm {H} =1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ae4175b4869fae756e9547010bf1c2d998cb38)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=-{\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}(n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a8c285f868d911d3bcf70bb04f22cbc5ecd366)