extrémités
et
on doit donc avoir
![{\displaystyle (\mu )\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}r^{n}-&{\frac {n+1}{1}}(r-1)^{n}+{\frac {(n+1)n}{1.2}}(r-2)^{n}-\ldots \\&=(n-r+1)^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-r)^{n}+\ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65212f8ef9f543b141bb76884c52cb6505652513)
en continuant l’un et l’autre membre de cette équation, jusqu’à ce qu’on arrive à un terme qui soit nul. On peut s’assurer d’ailleurs de la vérité de cette équation, en observant que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{n}&-(n+1)(r-1)^{n}+\ldots \\&\mp (n+1)(r-n)^{n}\pm (r-n-1)^{n}=\Delta ^{n+1}(r-n-1)^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a2b857f33aa9ed17abdb6cfa9fc4bf4ad198d5)
le signe
ayant lieu si
est impair, et le signe
s’il est pair ; or
d’où il est facile de conclure l’équation ![{\displaystyle (\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e3e2fcaa8619a56a0c0eacec22ec9b13756f3d)
IX.
Pour appliquer la théorie précédente à la Nature, il faudrait supposer
parce qu’il existe présentement soixante-trois comètes dont on a calculé les orbites ; mais ce calcul serait pénible à cause de sa longueur ; ainsi, l’abandonnant à ceux qui désireront de l’entreprendre, je me contenterai de supposer ici
j’imagine donc la droite
partagée en douze parties égales, dont chacune soit conséquemment de
on trouvera, par l’article précédent, que la probabilité que l’inclinaison moyenne des douze orbites sera comprise entre
et
ou
et
est égale à
![{\displaystyle {\frac {6^{12}}{\nabla (12)}}\left[1-13\left({\frac {5}{6}}\right)^{12}+{\frac {13.12}{1.2}}\left({\frac {4}{6}}\right)^{12}-{\frac {13.12.11}{1.2.3}}\left({\frac {3}{6}}\right)^{12}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647ad9e1f769e8b26e8b80bd3c05e4bb6d793839)
![{\displaystyle \left.+{\frac {13.12.11.10}{1.2.3.4}}\left({\frac {2}{6}}\right)^{12}-{\frac {13.12.11.10.9}{1.2.3.4.5}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{12}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ec77e58e60b1b742dd00eed8a95fa8f3c8c71f)
Or, en faisant le calcul, je trouve cette quantité égale à
d’où il suit : 1o qu’il y a
à parier contre
que l’inclinaison moyenne de douze orbites sera au-dessus de
2o qu’il y a autant à parier