donc on aura
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {K} }={\frac {\sideset {_{r+1}}{_{n+1}}{\mathrm {H} }}{na^{n-2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8259c31f6b0027c530cfa2825b49fab0eb66f06)
partant,
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {K} }={\frac {a^{2}}{n\nabla (n)}}\left[r^{n}-{\frac {n+1}{1}}(r-1)^{n}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa03b5f1c5181b1c3c6d6b594c4539975deb31e)
Présentement, la superficie entière de la courbe est égale à
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{n}}{\mathrm {K} }+\sideset {_{n-1}}{_{n}}{\mathrm {K} }+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1056421997601ba625bde08adcaad9a24ceb7ab4)
Nommant donc
cette superficie, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} ={\frac {a^{2}}{n\nabla (n)}}&\left[\qquad n^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-1)^{n}+{\frac {(n+1)n}{1.2}}(n-2)^{n}-\ldots \right.\\&+(n-1)^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-2)^{n}+\ldots \\&\left.+(n-2)^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-3)^{n}+\ldots \right]\\={\frac {a^{2}}{n\nabla (n)}}&\left[n^{n}-n(n-1)^{n}+{\frac {n(n+1)}{1.2}}(n-2)^{n}-\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163e3e7ec52e6dc795a8174e0bd84af116358698)
Or, en désignant par la caractéristique
la différence finie d’une quantité, on a, comme on sait,
![{\displaystyle n^{n}-n(n-1)^{n}+\ldots =\Delta ^{n}0^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08532a152f22fd8ca8d28081c8722ad32e820fb9)
d’ailleurs, on a généralement
![{\displaystyle \Delta x^{n}=\nabla (n)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f447aa66c1a77f549ad127a4b12d2bc3066f45)
partant,
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {a^{2}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfaa7707bc0fac9aec60bee6ee0a9cc1e79f8e41)
Remarque. – L’aire comprise entre les deux abscisses
et
doit être égale à l’aire comprise entre les deux abscisses
et
c’est-à-dire que l’on doit avoir
![{\displaystyle \sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {K} }=\sideset {_{n-r+1}}{_{n}}{\mathrm {K} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e4a6a690d5f1d9f1d636bdddf9fcd4c04a4e2b)
parce que ces deux surfaces sont également situées par rapport aux