pourvu que, dans le second membre de cette équation, on applique à la caractéristique
les exposants des puissances, et qu’on change les différences négatives en intégrales.
XIII.
Reprenons l’équation
![{\displaystyle e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }-1=\Delta u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f39e897b9ca7d2aee3f20c247abace484b8427)
ou
![{\displaystyle e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }=1+\Delta u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e9f428b9ac95fdc97d02051be67d8fb393060d)
M. de Lagrange en conclut, en vertu de l’analogie des puissances et des différences,
![{\displaystyle e^{{\frac {du}{dx}}\alpha '}=(1+\Delta u)^{\frac {\alpha '}{\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf8b2f9663068fc38847122186a762f262e3ceb)
or
représente ici l’unité, plus la différence finie de
lorsqu’on y suppose
devenir
cette équation renferme la théorie générale des interpolations, et elle est facile à démontrer par ce qui précède ; car, puisqu’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ {\frac {du}{dx}}\ =&\Delta u+f\Delta ^{2}u+\ldots ,\\\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=&\Delta ^{2}u+\sideset {^{1}}{}f\Delta ^{3}u+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e259b39d74f32ebf5fad714a53d9a3834415ae)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '\ {\frac {du}{dx}}\ =&{\frac {\alpha '}{\alpha }}\Delta u+f{\frac {\alpha '}{\alpha }}\Delta ^{2}u+\ldots ,\\\alpha '^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=&{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}u+{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}\sideset {^{1}}{}f\Delta ^{3}u+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bc8131cc7cf7536dee11d5b437e696063488ae)
Donc, nommant
la différence finie de
lorsqu’on y suppose
devenir
on aura
![{\displaystyle 1+\sideset {^{1}}{}\Delta u=1+\alpha '{\frac {du}{dx}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4d72680f664b32508387f34af046ce23260dbd)
![{\displaystyle =1+{\frac {\alpha '}{\alpha }}\Delta u+\Delta ^{2}u\left(g{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}+g'{\frac {\alpha '}{\alpha }}+g''\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77918c5183fd3f9b71f1f8d3e8fa1b03200f336a)
étant des coefficients constants et indépendants de
et de ![{\displaystyle \alpha '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca6f40b2a1c68cf64a30bd0c884c0179a015407)