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Soit $u=e^{x}$ et l’on aura

$e^{\alpha '}=1+{\frac {\alpha '}{\alpha }}\left(e^{\alpha }-1\right)+\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}\left(g{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}+g'{\frac {\alpha '}{\alpha }}+g''\right)+\ldots .$

Or

$e^{\alpha '}=\left(1+e^{\alpha }-1\right)^{\frac {\alpha '}{\alpha }}\,;$

développant donc le second membre de cette équation par rapport aux puissances de $e^{\alpha }-1,$ on aura

$1+{\frac {\alpha '}{\alpha }}\left(e^{\alpha }-1\right)+\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}\left(g{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}+g'{\frac {\alpha '}{\alpha }}+g''+\ldots \right)\,;$

donc on aura

$1+\sideset {^{1}}{}\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\alpha '}=(1+\Delta u)^{\frac {\alpha '}{\alpha }},$

en observant toujours d’appliquer aux caractéristiques $\Delta$ et $d$ les exposants des puissances.