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$\mathrm {A,'\!A} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires, et $u,'\!u,\ldots$ étant des intégrales particulières de l’équation (ϐ) ; que l’on suppose

${\begin{alignedat}{3}{\overline {u}}=&u\Delta \left({\frac {'\!u}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {u}}}=&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {'\!u}}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {\overline {u}}}}=&{\overline {\overline {u}}}\Delta \left({\frac {\overline {\overline {'\!u}}}{u}}\right),\\{\overline {'\!u}}=&u\Delta \left({\frac {''\!u}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {'\!u}}}=&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {''\!u}}{u}}\right),\qquad &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\overline {''\!u}}=&u\Delta \left({\frac {'''\!u}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {''\!u}}}=&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {'''\!u}}{u}}\right),\qquad &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

jusqu’à ce que l’on parvienne ainsi à former ${\overline {\overset {|}{\overset {\approx }{u}}}}\,;$ soit maintenant ${\overline {\overset {|}{\overset {\approx }{u}}}}=^{n-1}\!z,$ et concevons que dans $^{n-1}\!z$ on change $^{n-1}\!u$ en $^{n-2}\!u,$ et réciproquement, on formera $^{n-2}\!z\,;$ si dans la même expression on change $^{n-1}\!u$ en $^{n-3}\!u,$ et réciproquement, on formera $^{n-3}\!z,\ldots \,;$ je dis que l’intégrale complète de l’équation

$\mathrm {X} _{x}=y_{x}+'\!\mathrm {H} _{x}y_{x+1}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x+n}$

sera

${\begin{aligned}y_{x}&=u\left(\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{z}}\right),\\&+'\!u\left('\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{'\!z}}\right),\\&+''\!u\left(''\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{''\!z}}\right),\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&+^{n-1}\!u\left(^{n-1}\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{^{n-1}\!z}}\right),\end{aligned}}$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair, et le signe $-$ s’il est pair ; on doit observer ici que la caractéristique $\Delta$ sert à désigner la différence finie, et la caractéristique $\sum$ l’intégrale finie.

Pour donner une application du premier théorème, considérons l’équation que M. de la Grange intègre dans le III^e Volume des Mémoires de Turin, page 190, laquelle est de cette forme

$\mathrm {X} =y+\mathrm {A} (h+\mathrm {K} x){\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} (h+\mathrm {K} x)^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {D} (h+\mathrm {K} x)^{3}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots$

$+\mathrm {V} (h+\mathrm {K} x)^{n}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},$

$\mathrm {A,B,D,E,\ldots ,V}$ étant des coefficients constants.