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l’on suppose

${\begin{alignedat}{3}{\overline {u}}=&{\frac {u'\partial u-u\partial u'}{\partial u}},\qquad &{\overline {\overline {u}}}=&{\frac {{\overline {u'}}\partial {\overline {u}}-{\overline {u}}\partial {\overline {u'}}}{\partial {\overline {u}}}},\qquad &{\overline {\overline {\overline {u}}}}=&{\frac {{\overline {\overline {u'}}}\partial {\overline {\overline {u}}}-{\overline {\overline {u}}}\partial {\overline {\overline {u'}}}}{\partial {\overline {\overline {u}}}}},\\{\overline {u'}}=&{\frac {u''\partial u-u\partial u''}{\partial u}},&{\overline {\overline {u'}}}=&{\frac {{\overline {u''}}\partial {\overline {u}}-{\overline {u}}\partial {\overline {u''}}}{\partial {\overline {u}}}},&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\overline {u''}}=&{\frac {u'''\partial u-u\partial u'''}{\partial u}},&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

jusqu’à ce que l’on parvienne ainsi à former ${\overline {\overset {|}{\overset {\approx }{u}}}}\,;$ soit alors ${\frac {\partial \left({\frac {1}{\overline {\overset {|}{\overset {\approx }{u}}}}}\right)}{\partial x}}z^{(n-1)}\,;$ si, dans l’expression de $z^{(n-1)}$ on change $u^{(n-1)}$ en $u^{(n-2)},$ et réciproquement, on formera $z^{(n-2)}\,;$ si, dans la même expression de $z^{(n-1)},$ on change $u^{(n-1)}$ en $u^{(n-3)},$ et réciproquement, on formera $z^{(n-3)},$ et ainsi de suite ; je dis que l’intégrale complète de l’équation

$\mathrm {X} =y+\mathrm {H} {\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathrm {H} '{\frac {\partial ^{2}y}{\partial ^{2}x}}+\ldots +\mathrm {H} ^{n-1}{\frac {\partial ^{n}y}{\partial ^{n}x}},$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x,$ sera

${\begin{aligned}y&=u\left(\mathrm {C} \quad +\int z\mathrm {X} \partial x\right)\\&+u'\left(\mathrm {C} '\ \ +\int z'\mathrm {X} \partial x\right)\\&+u''\left(\mathrm {C} ''+\int z''\mathrm {X} \partial x\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+u^{(n-1)}\left(\mathrm {C} ^{(n-1)}+\int z^{(n-1)}\mathrm {X} \partial x\right).\end{aligned}}$

Théorème II, sur les différences finies. – Soit l’équation différentielle aux différences finies

${\text{ϐ}}\qquad \qquad \qquad 0=y_{x}+\mathrm {H} _{x}y_{x+1}+'\!\mathrm {H} _{x}y_{x+2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x+n},$

$\mathrm {H} _{x},'\!\mathrm {H} _{x},\ldots$ étant des fonctions quelconques de $x,$ et $y_{x}$ désignant l’y qui répond à l’indice $x\,;$ soit l’intégrale de cette équation

$y_{x}=\mathrm {A} u+'\!\mathrm {A} 'u+''\!\mathrm {A} ''u+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} ^{n-1}u,$