point les mêmes équations, parce que la constante arbitraire de l’équation
n’entre point dans les valeurs de
de là il suit que les équations précédentes doivent avoir lieu en même temps que celle-ci
quelle que soit
pour que cette dernière équation soit une intégrale particulière. On peut donc ainsi déterminer si l’équation
est comprise ou non dans celle-ci,
elle y sera comprise, si elle satisfait aux équations
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}={\frac {dy}{dx}},\qquad {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492e9aa4a28f074533d7a5965d94146ddad4c200)
autrement, elle ne sera qu’une solution particulière. Or on peut s’assurer si ces équations peuvent être satisfaites, sans connaître l’intégrale générale
car, de l’équation
il est facile de conclure les valeurs de
je les représente par
De plus, l’équation différentielle
donne
partant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial p}{\partial x}}+p{\frac {\partial p}{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95761add5319f81daf02769365540ad5ae2a76f5)
Soit
cette quantité (par
j’entends la différence entière de
divisée par
et par
j’entends le coefficient de
dans la différence de
il en est de même de toutes les expressions semblables) ; il est facile d’avoir, par un pareil procédé, les valeurs de
soient
ces valeurs ; les équations précédentes deviendront
![{\displaystyle v-p=0,\qquad v'-p'=0,\qquad v''-p''=0,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad60fa9e70091c9acff4995704bc9b840bf51f3)
La première de ces équations a nécessairement lieu, puisque l’équation
satisfait à l’équation différentielle
ainsi, ce ne peut être que dans les suivantes que l’on peut apercevoir si la solution
est ou n’est pas une intégrale particulière.