III.
Si l’équation
était une intégrale particulière, on aurait
![{\displaystyle v=0,\qquad v'=0,\qquad v''=0,\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c5dd1ad252af4a62cc5606545bc4e336d83192)
il faudrait donc que l’équation
rendît nulles les quantités
ou, ce qui revient au même, les valeurs de
tirées de l’équation
voyons quelle doit être pour cela la nature de
je suppose qu’on le réduise dans une suite ascendante par rapport à
on aura
![{\displaystyle p=fy^{n}+f'y^{n'}+f''y^{n''}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e945578c50bcc49da1d48dc3feaf997e66a90a)
étant fonctions de
et
étant nécessairement positif ; on peut donc mettre
sous cette forme
ne devenant ni infini, ni zéro, en vertu de l’équation
présentement, que l’on différentie l’expression précédente de
réduit en séries, on aura
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dy}{dx}}\left(nfy^{n-1}+n'f'y^{n'-1}+\ldots \right)+y^{n}{\frac {df}{dx}}+y^{n'}{\frac {df'}{dx}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1b4d62de34415c4410a121151e61096492c180)
Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=nf^{2}y^{2n-1}+(n+n')ff'y^{n+n'-1}+\ldots +y^{n}{\frac {df}{dx}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce12945993c26cdcf9ae45bd01fc1ca650de9bd)
On trouvera pareillement
![{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=n(2n-1)f^{3}y^{3n-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccb14650e18bb6e9531368fbf7da3a9c898a2b7)
et ainsi de suite ; or il est aisé de voir, en examinant la loi de ces différences, qu’elles ne peuvent s’évanouir toutes par la supposition de
que dans le cas où
est égal ou plus grand que l’unité ; d’où il suit que si l’équation
est une intégrale particulière de l’équation différentielle
est réductible à cette forme
étant nécessairement positif, égal ou plus grand que l’unité, et
res-