IV.
Soit, comme ci-dessus,
une solution quelconque de l’équation
elle donnera, par ce qui précède,
ces deux quantités
et
doivent conséquemment avoir un facteur commun, lequel sera la vraie solution de l’équation différentielle ; ainsi, je puis considérer
comme étant ce facteur lui-même. J’observerai ici que, par facteur d’une quantité, j’entends toute fonction qui, égalée à zéro, la fait évanouir. Je conçois maintenant
sous une forme telle que
et
ne deviennent ni zéro, ni infinis par la supposition de
c’est ce qui aura toujours lieu, si les facteurs de
n’y sont point élevés à d’autres puissances que l’unité ; je suppose, en effet, que toutes les valeurs qui satisfont pour
dans l’équation
soient ![{\displaystyle y=\mathrm {M} ,\ y=\mathrm {M} ',y=\mathrm {M} '',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bf7e62b55620ba83d1ff4c87583bfc452b898c)
étant des fonctions différentes de
et que l’on ait
![{\displaystyle \mu =(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} ')(y-\mathrm {M} '')\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000552868316037a7ad4645b85e59ba0b1a80d50)
Partant,
![{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial y}}=(y-\mathrm {M} ')(y-\mathrm {M} '')\ldots +(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} '')\ldots +(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} ')\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f642f5384f67c67235db9150d4f46d9e680b50)
et
![{\displaystyle -{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {d\mathrm {M} }{dx}}(y-\mathrm {M} ')(y-\mathrm {M} '')\ldots +{\frac {d\mathrm {M} '}{dx}}(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} '')\ldots +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8560f5967d1b8063bcdaf574375a8ce8126caa8b)
Or il est aisé de voir, cela posé, qu’aucune des équations ![{\displaystyle y-\mathrm {M} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbec8bd35accd848dbddc411be6c748a16110559)
ne peut rendre infinies ou nulles les quantités
et ![{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4729e8ed39e76fe232682ca8a613d4abca273cf7)
Maintenant, soit
l’exposant de la puissance à laquelle le facteur
est élevé dans la quantité
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle v-p=\mu ^{n}q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abccdb2608472ad0686004461bf63e1bd26d659)
ne devenant ni infini, ni zéro, par la supposition de
et
étant