Partant,
d’où il résulte que l’équation
n’est qu’une solution particulière.
V.
Je reprends l’équation
et je réduis
dans une suite ascendante par rapport à
soit
![{\displaystyle \mu ^{n}h=\mu ^{n}l+\mu ^{n'}l'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6193ef02b3e20a3e540c0759cab3fb0fb0b4f400)
étant fonctions de
que l’on différentie présentement cette expression de
par rapport à
seul, en regardant
comme fonction de
et de
elle deviendra, en divisant par ![{\displaystyle dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5da71c7e6f8a8bd49b54d01f87457005462f40)
![{\displaystyle n\mu ^{n-1}l{\frac {\partial \mu }{\partial x}}+\mu ^{n}{\frac {\partial l}{\partial x}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314e3b98c33c78084e08a32008ef99268120eaa1)
Il est aisé de voir que cette quantité devient infinie par la supposition de
en supposant que
est moindre que l’unité ; or
![{\displaystyle \mu ^{n}h={\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {\partial \mu }{\partial x}}+{\frac {\partial \mu }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial \mu }{\partial x}}+p{\frac {\partial \mu }{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646bf2850132479094bd7cd10d179b72ac078ad3)
Partant, si l’équation
est une solution particulière, elle doit rendre infinie la différence de
prise en ne faisant varier que
et divisée par
d’où résulte ce théorème :
Théorème. – Si l’équation
est une solution de l’équation différentielle
elle sera une solution particulière, toutes les fois quelle rendra nulle la quantité
![{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x^{2}}}+2p{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {\partial \mu }{\partial y}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1b2f45743fbed05db1e552d557c8202e14b811)
autrement, elle sera une intégrale particulière.
Ce théorème suppose que
est fonction des deux variables
et
si l’on voulait en faire usage dans le cas où
serait fonction de
seul, ou de
seul, il faudrait transformer les variables
et
en d’autres
et
telles que l’on ait, par exemple,
et