Si
est fonction de
seul, en considérant l’équation
on trouvera pareillement qu’il doit être facteur commun aux deux quantités
et
et, réciproquement, que tout facteur commun à ces deux quantités, qui sera fonction de
seul, égalé à zéro, est une solution particulière de l’équation
Examinons présentement les équations différentielles du second ordre.
VII.
Une équation différentielle du second ordre peut avoir pour solutions particulières des équations finies, ou des équations différentielles du premier ordre ; les unes et les autres peuvent également se déterminer par la méthode précédente.
Problème III. – Déterminer si une solution
de l’équation différentielle
est une intégrale particulière, sans connaître l’intégrale générale,
et
étant fonctions de
et
étant supposé constant.
En faisant usage de la méthode du problème I, on verra facilement que, si de l’équation
on tire les valeurs de
et qu’on les représente par
que, ensuite, on représente par
les valeurs de
tirées de l’équation
![{\displaystyle d^{2}y=pdx^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123da6d1784660ec2c943da8ae7a6becc7a3f377)
étant fonctions de
et
si
est une intégrale particulière, non seulement la quantité
mais les suivantes
doivent s’évanouir par la supposition de
et, si cela n’arrive pas, l’équation
est une solution particulière.
Puisque
donne
on aura
étant po-