sitif et
ne s’évanouissant pas par la supposition de
donc
![{\displaystyle v-{\frac {d^{2}y}{dx}}=\mu ^{n}q\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4367649badfe4e8572eed12b9c77c7d1849f5b)
et
![{\displaystyle \qquad v={\frac {-{\frac {\partial \mu }{\partial x}}-{\frac {\partial \mu }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}{dx{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45facd930a83e9f8c33b1538de964cbf6128a4ba)
Donc
![{\displaystyle d\mu =-\mu ^{n}qdx^{2}{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41321f6f615a94171c10bacfc53a431960b25ff3)
la quantité
peut toujours être imaginée sous la forme
étant fonction de
et de
et, dans ce cas,
[1] ; maintenant, puisque l’on a
si l’on substitue cette valeur de
dans la quantité
elle deviendra fonction de
et
je suppose qu’en la développant dans une suite ascendante par rapport à
on ait
![{\displaystyle -q=l+\mu ^{n'}l'+\mu ^{n''}l''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f086424448901d7da062f0257adcc60e18a0b56)
étant fonctions de
et de
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mu }{dx}}=\mu ^{n}l+\mu ^{n+n'}l'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b12b670b401274dc8b48a32d86158ff4a86d9ab)
partant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=n\mu ^{n-1}l{\frac {d\mu }{dx}}+(n+n')\mu ^{n+n'-1}l'{\frac {d\mu }{dx}}+\ldots +\mu ^{n}{\frac {dl}{dx}}+\mu ^{n+n'}{\frac {dl'}{dx}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38700ec9be2e433194fd360fb7630f4610b3a131)
et en substituant, au lieu de
sa valeur, et, au lieu de ![{\displaystyle {\frac {dl}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300c092fb99f61c228193ce1d72d3b9ec604ceb8)
![{\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial x}}+{\frac {\partial l}{\partial y}}(\mathrm {R} +\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841fc1b9b0d618c9472defe356f07b2fbf5989a3)
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mu }{dx^{3}}}=n\mu ^{2n-1}l^{2}+(2n+n')\mu ^{2n+n'-1}ll'+\mu ^{n}\left({\frac {\partial l}{\partial x}}+\mathrm {R} {\frac {\partial l}{\partial y}}\right)+\mu ^{n+1}{\frac {\partial l}{\partial y}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0b69d9786d31bae1546b5b600a1b29d8f70e5a)
En continuant ainsi de prendre les différences successives de
et ob-
- ↑ La notation
demande une explication ; son sens est fixé par la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}={\frac {\partial \mu }{\partial y'}}{\frac {1}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afa4c5e3395d080399afdda62f71bd6d07d8042)
où l’on a fait pour un moment
(Note de l’Éditeur.)