Soit
cette quantité, on aura facilement
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad21bae531f70efe0d5427fc6fac312f7a6c694)
je nomme
ces quantités ; maintenant, si de l’équation
on tire les valeurs de
et qu’on les nomme
il est aisé de conclure, par un raisonnement entièrement analogue à celui de l’article II, que l’équation
ne peut être une intégrale particulière que dans le cas où elle fait évanouir non seulement les quantités
mais encore les suivantes
Puisque l’équation
fait disparaître
on aura
![{\displaystyle v-p=\mu ^{n}\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a0fb648b5bbb4aa47fd7035793d19376aa8510)
et puisqu’elle fait disparaître
on aura
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}v-q=\mu ^{n'}\mathrm {K} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5199a9958abcfaebf2a2e44825ba1053254fd0)
Si l’on multiplie la première de ces équations par
la seconde, par
qu’en suite on les ajoute, on aura
![{\displaystyle vdx+\sideset {^{1}}{}vdy-pdx-qdy=\mu ^{n}\mathrm {K} dx+\mu ^{n'}\mathrm {K} 'dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab3460d71d81715d8c302584a06cbe362ebd8ed)
ou, à cause de ![{\displaystyle dz=pdx+qdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3033b447705a03bd7721015abd62a1cb1d7d0041)
![{\displaystyle vdx+\sideset {^{1}}{}vdy-dz=\mu ^{n}\mathrm {K} dx+\mu ^{n'}\mathrm {K} 'dy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cf00ce395c2af4d67de572102a5d3d17529f8e)
mais on a
![{\displaystyle v={\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0416f28b4fea4d2a742ce73e679fe0b5d8d8aca)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {^{1}}{}v={\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9852435d2ee4a51bc406fb01626cda5f5c9605)
Donc
![{\displaystyle d\mu =-\mu ^{n}\mathrm {K} {\frac {\partial \mu }{\partial z}}dx-\mu ^{n'}\mathrm {K} '{\frac {\partial \mu }{\partial z}}dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a18b9ebbf713d5e92cf22e6c869abecd8eb3f5f)
Or il est aisé de voir que
ne peut être une intégrale particulière, que dans le cas où le moindre des exposants
est égal ou plus grand que l’unité ; autrement
n’est qu’une solution particulière.