XI.
Problème VI. – On propose de trouver toutes les solutions particulières de l’équation
![{\displaystyle dz=pdx+qdy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20d5cf9b5dcdcdf25d53bb4e4deb9bb4bff3c6a)
Soit
une de ces solutions ; on aura, par l’article précédent,
![{\displaystyle p=-\mu ^{n}\mathrm {K} {\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cde7721b0d05086ca070dfc5950162f7a5b314)
et
![{\displaystyle \qquad q=-\mu ^{n'}\mathrm {K} '{\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff64678ec90c8a7d00762fd1c8c7883a27372ae)
et, puisque l’un des deux exposants
et
doit être moindre que l’unité, si l’on suppose que ce soit
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=-\mathrm {n} ^{n-1}\mathrm {K} {\frac {\partial \mu }{\partial z}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23b23f05865b3d06aef5a1a53ea236441eaadf0)
d’où l’on voit que
devient infini par la supposition de
partant,
devient nulle par cette même supposition. Si c’était
qui fût moindre que l’unité,
deviendrait nul, en faisant
En cherchant donc, parmi les facteurs de
et
ceux qui satisfont à l’équation
![{\displaystyle dz=pdx+qdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5614ae07dddf9415a5937b2e0464b7966dbbdc61)
et distinguant ceux qui sont des intégrales particulières, on aura toutes les solutions particulières de cette équation différentielle.
XII.
Il arrive souvent que l’équation
![{\displaystyle dz=pdx+qdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5614ae07dddf9415a5937b2e0464b7966dbbdc61)
n’est point intégrale, et cela a lieu, comme l’on sait, lorsque l’équa-