on aura, pour le nombre
de planètes, les
équations
![{\displaystyle (\sigma )\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}h\mathrm {A} \ =&(0,1)\mathrm {A} -{\overline {(0,1)}}\mathrm {A} '\\+&(0,2)\mathrm {A} -{\overline {(0,2)}}\mathrm {A} ''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h\mathrm {A} '\,=&(1,0)\mathrm {A} '-{\overline {(1,0)}}\mathrm {A} \\+&(1,2)\mathrm {A} '-{\overline {(1,2)}}\mathrm {A} ''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h\mathrm {A} ''=&(2,0)\mathrm {A} ''-{\overline {(2,0)}}\mathrm {A} \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8436465ceb0cfbcfa21ecb47770f1b629c369f8c)
au moyen de ces équations, on aura une équation en
du degré
d’où l’on aura
racines pour
et, en désignant par
ces
racines, on aura, pour les expressions complètes de
et de ![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\mathrm {A} \sin(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} \sin('ht+'\!\alpha )+''\!\mathrm {A} \sin(''ht+''\!\alpha )+\ldots ,\\y=&\mathrm {A} \cos(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} \cos('ht+'\!\alpha )+''\!\mathrm {A} \cos(''ht+''\!\alpha )+\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5f7be3a73f654c01f84918c27c7a9583122e37)
étant des constantes telles que
et
doivent dépendre de
de la même manière que
et
dépendent de
ou que
et
dépendent de
On aura, de la même manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'=&\mathrm {A} '\sin(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} '\sin('ht+'\!\alpha )+\ldots ,\\y'=&\mathrm {A} '\cos(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} '\cos('ht+'\!\alpha )+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990e4ade4cb465d862f33d843c536d7d0d152b39)
et ainsi de suite. Il faut présentement déterminer les constantes ![{\displaystyle \mathrm {A,\,'A,\,''A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44caf2d2c154ff7b3e98926afe6ee66c919b3c28)
Pour cela, nommons ![{\displaystyle \mathrm {X,X',X''} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933dbf51df9ce2d59764a585d33f5bfbb1768d3b)
les valeurs de
lorsque
et nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} \ =&\mathrm {A} \ \sin \alpha +'\!\mathrm {A} \ \sin \,'\!\alpha +\ldots ,\qquad &\mathrm {Y} \ =&\mathrm {A} \ \cos \alpha +'\!\mathrm {A} \ \cos \,'\!\alpha +\ldots ,\\\mathrm {X} '=&\mathrm {A} '\sin \alpha +'\!\mathrm {A} '\sin \,'\!\alpha +\ldots ,&\mathrm {Y} '=&\mathrm {A} '\cos \alpha +'\!\mathrm {A} '\cos \,'\!\alpha +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785fa137700235ab32923cb0e200b9268caf9ccd)