et ainsi du reste. Si donc il y a un nombre
de planètes et, par conséquent, un nombre
de variables, on aura un nombre
d’équations différentielles linéaires du premier ordre pour les déterminer ; ayant ensuite
et
on aura facilement
et
au moyen des équations
![{\displaystyle e={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc3a05a057933d60410073eeef8d2b9be322a25)
et
![{\displaystyle \operatorname {tang} \mathrm {L} ={\frac {x}{y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b4cf3062a9ee1a3e1809d701c311d96b95b6cb)
En faisant des opérations analogues sur les équations relatives au mouvement des nœuds et à l’inclinaison des orbites, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}dz\ =&\left[(0,1)(s'-s)+(0,2)(s''-s)+\ldots \right]dl,\\ds\ =&\left[(0,1)(z-z')+(0,2)(z-z'')+\ldots \right]dt,\\dz'=&\left[(1,0)(s-s')+(1,2)(s''-s')+\ldots \right]dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10632693bab97b856d156fbbf2b665bd11cc634)
Ces dernières équations sont les mêmes que celles de M. de Lagrange, et l’on voit que les équations du mouvement des aphélies et de l’excentricité ont une forme à peu près semblable, quoique différente à quelques égards ; celles du mouvement des nœuds et de l’inclinaison y sont réductibles en y supposant
il nous suffira donc ici de considérer les équations de l’excentricité et des aphélies, d’autant plus que M. de Lagrange a traité les autres dans le plus grand détail.
XV.
Si l’on fait, suivant la méthode que M. de Lagrange a donnée dans le Mémoire cité,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x\ =&\mathrm {A} \sin(ht+\alpha ),\qquad &y\ =&\mathrm {A} \cos(ht+\alpha ),\\x'=&\mathrm {A} '\sin(ht+\alpha ),\qquad &y'=&\mathrm {A} '\cos(ht+\alpha ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7196f8122887422d291eae53649187fb98cebe)