dans les deux suivantes :
(4)
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(5)
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On voit ainsi que
et
sont fonctions de
Pour déterminer ces fonctions, soit
on aura, comme l’on sait,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&p+\delta p=p+x{\frac {dp}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}q=&q+\delta q=q+x{\frac {dq}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef54cb8ab3ae97a25c3db5a929b54f425894158c)
partant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta p=&x{\frac {dp}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\delta q=&x{\frac {dq}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674f6c13e9d3411bcbc8f91ae1846fe4519f2cd5)
les équations (4) et (5) deviendront ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre
ou, ce qui revient au même, en comparant les termes multipliés par ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
(6)
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(7)
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Pour intégrer ces deux équations, je fais
![{\displaystyle p=fe^{nx}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720a82605a69fdcd72fcec54c2b01208da722e07)
et
![{\displaystyle \qquad q=ge^{nx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd221578a8573ee32cd2660fe0a8c0222a3c05ab)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et
et
étant constants ; en substituant ces valeurs de
et de
dans les équations différentielles (6) et (7), on aura
![{\displaystyle fn=g\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf8dafe479f331fb52618aac38a6bdec51af878)
et
![{\displaystyle \qquad gn=f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3623e06a2ad4841b5ffc88faf840b045b85db83)
d’où l’on tire
![{\displaystyle n=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05959acf354f9124abb99caabc9199fa003d3d7)