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d’où l’on tire, en intégrant,

{\begin{aligned}z=&{\frac {pqt}{4}}\sin t+{\frac {\left(p^{2}-q^{2}\right)t}{8}}\cos t\\&-{\frac {p^{2}+q^{2}+}{16}}\sin 3t+{\frac {p^{2}-q^{2}+}{96}}\sin 5t+{\frac {pq}{48}}\cos 5t,\end{aligned}}

partant,

(9)

\left\{{\begin{aligned}y=&\left(p+{\frac {\alpha pq}{4}}t\right)\sin t+\left(q+\alpha {\frac {p^{2}-q^{2}}{8}}t\right)\cos t\\&-\alpha {\frac {p^{2}+q^{2}}{16}}\sin 3t+\alpha {\frac {p^{2}-q^{2}}{96}}\sin 5t+{\frac {\alpha pq}{48}}\cos 5t.\end{aligned}}\right.

Si l’on fait présentement dans l’équation (8), $t=\mathrm {T} +t_{1},$ elle deviendra

{\frac {d^{2}y}{dt_{1}^{2}}}+y=\alpha y^{2}\sin 3\left(\mathrm {T} +t_{1}\right),

et, en intégrant, on aura

(10)

\left\{{\begin{aligned}y=&\left(\sideset {^{1}}{}p+\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}q}{4}}t_{1}\right)\sin \left(\mathrm {T} +t_{1}\right)+\left(\sideset {^{1}}{}q+\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p^{2}-\sideset {^{1}}{}q^{2}}{8}}t_{1}\right)\cos \left(\mathrm {T} +t_{1}\right)\\&-\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p^{2}+\sideset {^{1}}{}q^{2}}{16}}\sin 3\left(\mathrm {T} +t_{1}\right)+\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p^{2}-\sideset {^{1}}{}q^{2}}{96}}\sin 5\left(\mathrm {T} +t_{1}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}q}{48}}\cos 5\left(\mathrm {T} +t_{1}\right).\end{aligned}}\right.

$\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ étant deux nouvelles constantes arbitraires dépendantes des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt_{1}}},$ lorsque $t_{1}=0.$

Si l’on avait $\alpha =0,$ on aurait $\sideset {^{1}}{}p=p$ et $\sideset {^{1}}{}q=q,$ donc $\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ ne différent de $p$ et $q$ que de quantités de l’ordre $\alpha \,;$ soit donc