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d’où l’on voit que $p$ et $q$ sont fonctions de $\alpha \mathrm {T}$ soit

${\frac {\alpha \mathrm {T} }{8}}=x,$

et l’on aura, comme dans l’exemple précédent,

${\frac {dp}{dx}}=2pq,\qquad {\frac {dq}{dx}}=p^{2}-q^{2}\,;$

en multipliant la première de ces équations par ${\sqrt {-1}},$ et en l’ajoutant et la retranchant successivement de la seconde, on formera les deux suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {dq}{dx}}+{\sqrt {-1}}{\frac {dp}{dx}}=&p^{2}-q^{2}+2pq{\sqrt {-1}}=\left(p+q{\sqrt {-1}}\right)^{2},\\{\frac {dq}{dx}}-{\sqrt {-1}}{\frac {dp}{dx}}=&p^{2}-q^{2}-2pq{\sqrt {-1}}=\left(p-q{\sqrt {-1}}\right)^{2}.\end{aligned}}$

Soit

$p+q{\sqrt {-1}}=s'{\sqrt {-1}}\qquad$et$\qquad p-q{\sqrt {-1}}=s{\sqrt {-1}}\,;$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {ds'}{dx}}=&{\frac {dq}{dx}}-{\sqrt {-1}}{\frac {dp}{dx}},\\-{\frac {ds}{dx}}=&{\frac {dq}{dx}}+{\sqrt {-1}}{\frac {dp}{dx}}\,;\end{aligned}}$

donc

${\frac {ds'}{dx}}=-s^{2}\qquad$et$\qquad {\frac {ds}{dx}}=s'^{2}\,;$

en différenciant cette dernière équation, on aura donc

${\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}=2s'{\frac {ds'}{dx}}=-2s's^{2}=-2s^{2}{\sqrt {\frac {ds}{dx}}}\,;$

donc

$\left({\frac {ds}{dx}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}=-2s^{2}ds$