Si l’on compare les équations (12) et (13), on aura, comme dans l’exemple précédent, en négligeant les quantités de l’ordre
![{\displaystyle \delta p=-\alpha l\mathrm {T} q\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3594724dc0a4f412a7bf7a88d0bddde9cdd194)
et
![{\displaystyle \qquad \delta q=\alpha l\mathrm {T} p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd10e8bce07ac314d89041bb7366742230e328e)
d’où l’on voit que
et
sont fonctions de
soit
![{\displaystyle \alpha l\mathrm {T} =x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e7680bf26f673e719653f16a6da4633d833d1b)
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=-q\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a94de4410c8f85078797997994e286a685fb5a)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {dq}{dx}}=p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d5ec1ca4f6de284305eeb2b07ef2bf9c349611)
en intégrant ces deux équations, on aura
![{\displaystyle p=e\cos(x+\varpi )\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb579fcf17830ae519f025bf3d8bc1c56625ae9)
et
![{\displaystyle \qquad q=e\sin(x+\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0101c25c30fc4b47d9f886c8780ca85be557291)
et
étant deux nouvelles constantes arbitraires que l’on déterminera au moyen des valeurs de
et de
lorsque
on aura donc
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}p=e\cos(\alpha l\mathrm {T} +\varpi )\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35257662b1d1898d6f978003878c801050f37fa9)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {^{1}}{}q=e\sin(\alpha l\mathrm {T} +\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4938bae174a5bbe3ba14fb94192590824f3795af)
et l’équation (13) donnera, en y supposant ![{\displaystyle t_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fefc0ef0dbfd70994e581458810374ff8843b5c)
![{\displaystyle y=l-{\frac {\alpha \left(2l^{2}+e^{2}\right)}{2}}+e\sin \left[\mathrm {T} (1+\alpha l)+\varpi \right]-{\frac {\alpha e^{2}}{6}}\cos \left[2\mathrm {T} (1+\alpha l)+2\varpi \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91d74d926ef713a49f085b651582b4d26c7d70c)
c’est l’expression de
après le temps quelconque
en négligeant la quantité de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74634cf2918e42f7ff1500ba66072c926c24e23b)
Si l’on veut pousser l’approximation jusques aux quantités de l’ordre
on fera
![{\displaystyle y=l-{\frac {\alpha \left(2l^{2}+e^{2}\right)}{2}}+e\sin \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]-{\frac {\alpha e^{2}}{6}}\cos \left[2t(1+\alpha l)+2\varpi \right]+\alpha ^{2}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbbcfe4b45e27e4d65ae2d66cd39d9e0fb3d88b8)
et l’équation (11) donnera, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0f578b9d6334c0d4b87d61ec4b95f79f9c32cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z-2l^{3}-e^{2}l\\&-{\frac {18el^{2}+5e^{2}}{6}}\sin \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]\\&+e^{2}l\cos \left[2t(1+\alpha l)+2\varpi \right]-{\frac {e^{3}}{6}}\sin \left[3t(1+\alpha l)+3\varpi \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f201017745c1c912b6fed6a1c767053c6172f5)