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ce qui donne, en les intégrant successivement,

${\begin{aligned}z\ =&l+p\sin t+q\cos t,\\z'\,=&-{\frac {1}{2}}\left(2l^{2}+p^{2}+q^{2}\right)-lqt\sin t+lpt\cos t\\&+{\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}\cos 2t+{\frac {pq}{3}}\sin 2t,\\z''=&l\left(2l^{2}+p^{2}+q^{2}\right)\\&+\sin t\left[{\frac {1}{12}}qt\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)-{\frac {1}{2}}pl^{2}t^{2}\right]\\&-\cos t\left[{\frac {1}{12}}pt\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)+{\frac {1}{2}}ql^{2}t^{2}\right]\\&-\sin 2t\left({\frac {2pql}{3}}-l{\frac {p^{2}-q^{2}}{3}}t\right)\\&+\cos 2t\left(l{\frac {p^{2}-q^{2}}{3}}+{\frac {2pql}{3}}t\right)\\&+p{\frac {3q^{2}-p^{2}}{48}}\sin 3t+q{\frac {q^{2}-3p^{2}}{48}}\cos 3t\,;\end{aligned}}$

partant

(V)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha ({\frac {1}{2}}-\alpha l)\left(2l^{2}+p^{2}+q^{2}\right)\\&+\sin t\left[p-\alpha lqt+{\frac {\alpha ^{2}qt}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)-{\frac {\alpha ^{2}pl^{2}}{2}}t^{2}\right]\\&+\cos t\left[q+\alpha lpt-{\frac {\alpha ^{2}pt}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)-{\frac {\alpha ^{2}ql^{2}}{2}}t^{2}\right]\\&+\alpha \sin 2t\left[{\frac {pq}{3}}-{\frac {2\alpha pql}{3}}+{\frac {\alpha l\left(p^{2}-q^{2}\right)}{3}}t\right]\\&+\alpha \cos 2t\left[{\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}+{\frac {\alpha l\left(p^{2}-q^{2}\right)}{3}}+{\frac {2\alpha pql}{3}}t\right]\\&+{\frac {\alpha ^{2}p\left(3q^{2}-p^{2}\right)}{48}}\sin 3t+{\frac {\alpha ^{2}q\left(q^{2}-3p^{2}\right)}{48}}\cos 3t,\end{aligned}}\right.$

$p$ et $q$ étant des constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t=0.$

Si l’on fait présentement, dans l’équation (11), $t=\mathrm {T} +t,$ on aura,