en l’intégrant,
(V’)
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et
étant deux nouvelles constantes arbitraires dépendantes des valeurs de
et de
lorsque ![{\displaystyle t_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9664a6d546326c85139fabb7f50f5167a207d717)
On peut, sans intégrer une seconde fois, conclure l’équation (V’) de l’équation (V), en changeant dans celle-ci
en
en
en
excepté sous les sinus et les cosinus, où l’on doit écrire
au lieu de
Si l’on compare maintenant dans les équations (V) et (V’) les coefficients de
et de
on aura, en observant que
les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p&-\alpha l\,\sideset {^{1}}{}qt_{1}+{\frac {\alpha ^{2}.\sideset {^{1}}{}qt_{1}}{12}}\left(18l^{2}+5\sideset {^{1}}{^{2}}p+5\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\sideset {^{1}}{}pl^{2}t_{1}^{2}\\&=p-\alpha (\mathrm {T} +t_{1})\left[lq-{\frac {\alpha q}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)\right]-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}pl^{2}(\mathrm {T} +t_{1})^{2},\\\sideset {^{1}}{}q&+\alpha l\,\sideset {^{1}}{}pt_{1}-{\frac {\alpha ^{2}.\sideset {^{1}}{}qt_{1}}{12}}\left(18l^{2}+5\sideset {^{1}}{^{2}}p+5\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\sideset {^{1}}{}ql^{2}t_{1}^{2}\\&=q+\alpha (\mathrm {T} +t_{1})\left[lp-{\frac {\alpha p}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)\right]-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}ql^{2}(\mathrm {T} +t_{1})^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24527107841d18ff08de273d418acee9cd04ab1c)
Je fais dans ces deux équations
et j’observe que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&p+\mathrm {T} {\frac {dp}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}q=&q+\mathrm {T} {\frac {dq}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c14b655ed07862de972e78a0642b749edc34dbe)