Il suit encore du théorème précédent que, si, dans la première résultante, on écrit
ou
ou
ou etc. partout où est
cette résultante sera identiquement nulle ; car, je suppose que l’on écrive
au lieu de
la première résultante est égale, par ce que nous venons de voir, à la troisième, c’est-à-dire à celle qui résulte de la combinaison suivant l’ordre
or, en combinant d’abord les deux lettres
et
on a
si l’on combine ces deux termes avec la lettre
ensuite ceux-ci avec la lettre
etc., il est visible que la quantité qui en résultera deviendra identiquement nulle, en écrivant
au lieu de
parce que, alors,
devient identiquement nul.
Je suppose maintenant que l’on ait les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\sideset {^{1}}{}a\mu +\sideset {^{1}}{}b\mu '+\sideset {^{1}}{}c\mu '',\\0=&\sideset {^{2}}{}a\mu +\sideset {^{2}}{}b\mu '+\sideset {^{2}}{}c\mu '',\\0=&\sideset {^{3}}{}a\mu +\sideset {^{3}}{}b\mu '+\sideset {^{3}}{}c\mu ''\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c20fd6fcee8ecd9ed30d3cf1631d21a6525ee13)
je forme d’abord la résultante des trois lettres
suivant l’ordre
ce qui donne
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b+\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{3}}{}c+\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}a-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fd31c2b04e405f8e846d0f0fa0cbfe2db3006b)
ou
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}a\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f647a4ea37474afaa4e3d73415b39d20ec589717)
je multiplie ensuite la première des équations précédentes par
la deuxième par
la troisième par
et je les ajoute ensemble, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mu \ \left[\sideset {^{1}}{}a\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right)\right]\\+&\mu '\,\left[\sideset {^{1}}{}b\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}b\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}b\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right)\right]\\+&\mu ''\left[\sideset {^{1}}{}c\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}c\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}c\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right)\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4ede13b329050868afbe927d4d13c77488df7c)
or, il suit de ce que nous venons de voir que les coefficients de
et
sont identiquement nuls, puisqu’ils ne sont que la résultante des trois lettres
dans laquelle on écrit
ou
partout où est
; donc, on aura, pour l’équation de condition demandée,
![{\displaystyle 0=\sideset {^{1}}{}a\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e033a00dbd86d093d3d1ba9d116f09d4d82e7f9)